Après le post « comment calibrer simplement une option », voici son pendant, « comment pricer simplement une option » selon le modèle binomial à 1 période.
Remarque liminaire : dans le document cité par Maw dans le post ci-dessus, dont je ne rappellerai pas les références, et pour cause, il est dit :
« la distribution binomiale, parce qu’elle ne possède que deux états possibles, utilisée avec la théorie de l’arbitrage, se révèle un mauvais système d’analyse de marché. »
vous pouvez, alors, passer votre chemin. Mais ça serait vraiment dommage. Je n’en dis pas plus !
Et c’est parti.
C’est bien connu, pour pricer correctement une option, il faut valoriser le célébrissime couple « moyenne-variance » du sous-jacent. Plus précisément ici, ce sera le couple « tendance – écart-type, (µ, σ)».
µ est le drift annualisé, et σ est, disons, l’écart-type (noté ici en valeur absolue).
Avec µ, je détermine le cours moyen du sous-jacent attendu en T (à l’échéance de l’option), soit S(1 + µt). Cette valeur, je vais la dénommer « Strike » et la noter K.
Eh oui ! vous avez bien lu, le Strike est (et doit être) identifié comme le cours moyen espéré du sous-jacent en T.
Et de un.
Ensuite, avec σ, on va déterminer le cours maxi attendu en T, (K + σ) si µ > r, ou le cours mini (K – σ) dans le cas contraire, notés respectivement Su et Sd.
Ensuite, on détermine l’opposé de Su (ou Sd) en appliquant la relation :
. K.Sr = (Su.Sd) avec Sr = S(1+r)
Et de deux.
Exemple chiffré : S = 100, r = 2%, maturité 1 an, avec µ=10% et σ=12,
on obtient :
. K = S(1+0.10) = 110 ;
. Su = K+12 = 122 ; (µ est > r)
. Sd = (110.102)/122 = 91,97.
Maintenant, classiquement, selon le modèle binomial 1 période, on peut pricer le Call.
Pour ma part, voici comment je procède :
. calcul du Δ : (Su – K) / (Su – Sd), soit .3996
. calcul de Q : (Sr – Sd) / (Su – Sd), soit .3340
. calcul de C = S.Δ – K/(1+r).Q, soit 3,94
. calcul de P = K/(1+r).(1-Q) – S.(1-Δ), soit 11,78
Remarque : on peut tout aussi bien, utiliser le modèle BS pour pricer l’option ; σ représente dans ce cas, la volatilité façon BS. Et, on notera, oh ! surprise, que µ est de fait, bien présent dans la formule ! (Suivez mon regard…)
Continuons.
Puisqu’on connait « µ », Su et Sd, on va pouvoir déterminer la « vraie » probabilité qu’a le cours du sous-jacent de monter ou de descendre, en appliquant la relation :
. S(1+µ) = K = Su.p + Sd.(1-p)
Ici on obtient p = .6004, ce qui correspond à … (1-Δ).
Eh oui ! (1-Δ) est la « vraie » probabilité (celle du monde réel), pour que le cours du sous-jacent soit à la hausse, et donc Δ, la « vraie » probabilité pour que le cours soit à la baisse.
Et de trois.
Enfin, comme la volatilité est fonction de µ, donc de K, cela explique que les valeurs de Su et Sd varient selon le Strike dans une même série d’options. De même pour la volatilité implicite dans la « well-known BS formula ».
Pas besoin d’aller chercher midi à quatorze heures !
Et de quatre.
Bon, je vais m’arrêter là. Et c’est déjà pas mal, non ?
Cdlt