Comment pricer simplement une option

[alph95]

Après le post « comment calibrer simplement une option », voici son pendant, « comment pricer simplement une option » selon le modèle binomial à 1 période.

Remarque liminaire : dans le document cité par Maw dans le post ci-dessus, dont je ne rappellerai pas les références, et pour cause, il est dit :
« la distribution binomiale, parce qu’elle ne possède que deux états possibles, utilisée avec la théorie de l’arbitrage, se révèle un mauvais système d’analyse de marché. »
vous pouvez, alors, passer votre chemin. Mais ça serait vraiment dommage. Je n’en dis pas plus !

Et c’est parti.
C’est bien connu, pour pricer correctement une option, il faut valoriser le célébrissime couple « moyenne-variance » du sous-jacent. Plus précisément ici, ce sera le couple « tendance – écart-type, (µ, σ)».
µ est le drift annualisé, et σ est, disons, l’écart-type (noté ici en valeur absolue).

Avec µ, je détermine le cours moyen du sous-jacent attendu en T (à l’échéance de l’option), soit S(1 + µt). Cette valeur, je vais la dénommer « Strike » et la noter K.
Eh oui ! vous avez bien lu, le Strike est (et doit être) identifié comme le cours moyen espéré du sous-jacent en T.
Et de un.

Ensuite, avec σ, on va déterminer le cours maxi attendu en T, (K + σ) si µ > r, ou le cours mini (K – σ) dans le cas contraire, notés respectivement Su et Sd.
Ensuite, on détermine l’opposé de Su (ou Sd) en appliquant la relation :
. K.Sr = (Su.Sd) avec Sr = S(1+r)
Et de deux.

Exemple chiffré : S = 100, r = 2%, maturité 1 an, avec µ=10% et σ=12,
on obtient :
. K = S(1+0.10) = 110 ;
. Su = K+12 = 122 ; (µ est > r)
. Sd = (110.102)/122 = 91,97.
Maintenant, classiquement, selon le modèle binomial 1 période, on peut pricer le Call.
Pour ma part, voici comment je procède :
. calcul du Δ : (Su – K) / (Su – Sd), soit .3996
. calcul de Q : (Sr – Sd) / (Su – Sd), soit .3340
. calcul de C = S.Δ – K/(1+r).Q, soit 3,94
. calcul de P = K/(1+r).(1-Q) – S.(1-Δ), soit 11,78
Remarque : on peut tout aussi bien, utiliser le modèle BS pour pricer l’option ; σ représente dans ce cas, la volatilité façon BS. Et, on notera, oh ! surprise, que µ est de fait, bien présent dans la formule ! (Suivez mon regard…)

Continuons.
Puisqu’on connait « µ », Su et Sd, on va pouvoir déterminer la « vraie » probabilité qu’a le cours du sous-jacent de monter ou de descendre, en appliquant la relation :
. S(1+µ) = K = Su.p + Sd.(1-p)
Ici on obtient p = .6004, ce qui correspond à … (1-Δ).
Eh oui ! (1-Δ) est la « vraie » probabilité (celle du monde réel), pour que le cours du sous-jacent soit à la hausse, et donc Δ, la « vraie » probabilité pour que le cours soit à la baisse.
Et de trois.

Enfin, comme la volatilité est fonction de µ, donc de K, cela explique que les valeurs de Su et Sd varient selon le Strike dans une même série d’options. De même pour la volatilité implicite dans la « well-known BS formula ».
Pas besoin d’aller chercher midi à quatorze heures !
Et de quatre.

Bon, je vais m’arrêter là. Et c’est déjà pas mal, non ?

Cdlt

[Maw]

Bonjour aplh95,

Je ne porte aucun jugement sur l'utilisation du modèle binomial à 1 période qui est au centre de votre travail, très détaillé ce qui est à saluer. En termes de pricing, c'est un cas particulier très didactique de méthodes plus générales que sont les différences finies. Juste que, logiquement mais on peut en discuter, moins on a des cas prévus par un modèle et moins on représente une réalité.

Après le post « comment calibrer simplement une option », voici son pendant, « comment pricer simplement une option » selon le modèle binomial à 1 période.

Remarque liminaire : dans le document cité par Maw dans le post ci-dessus, dont je ne rappellerai pas les références, et pour cause, il est dit :
« la distribution binomiale, parce qu’elle ne possède que deux états possibles, utilisée avec la théorie de l’arbitrage, se révèle un mauvais système d’analyse de marché. »
vous pouvez, alors, passer votre chemin. Mais ça serait vraiment dommage. Je n’en dis pas plus !

Ça ne m'empêche pas de vous lire, donc je progresse !

De même pour la volatilité implicite dans la « well-known BS formula ».

Vous pouvez détailler ça ?

[alph95]

Tout d’abord, revenons sur ce qui a été signalé d’important (de fondamental):
. K est identifié à Se^µt
. les « vraies » probabilités de hausse et de baisse du sous-jacent sont (1 – Δ) et Δ.
Dans le modèle BS, ces probabilité correspondent à S(T) > S.e^rt et S(T) < S.e^rt. Soit en posant K = S.e^µt, F = S.e^rt, la formule pour la hausse est :
. N((ln(S) – ln(F) + (µ - σ²/2)t)/σ√t)
Ce qui est égal à (1 – Nd1)

Alors, Maw je réponds à ta question, (on peut se tutoyer, je pense).
Il faut bien se baser sur une donnée et valoriser cette donnée.
Alors basons-nous sur la probabilité de hausse du sous-jacent. Elle est valable, sans aucun doute, pour toute la série d’option (même échéance). Les deux variables qui la déterminent sont K (µ) et σ. Donc si on change l’une on change obligatoirement l’autre. Non ?

Cdlt.

[Maw]

Alors, Maw je réponds à ta question, (on peut se tutoyer, je pense).
Il faut bien se baser sur une donnée et valoriser cette donnée.
Alors basons-nous sur la probabilité de hausse du sous-jacent. Elle est valable, sans aucun doute, pour toute la série d’option (même échéance). Les deux variables qui la déterminent sont K (µ) et σ. Donc si on change l’une on change obligatoirement l’autre. Non ?
Cdlt.

Ce serait tentant, mais je ne suis pas sûr de ça.
La volatilité implicite est déterminée avant tout par l'offre et la demande, puis "contrainte" par des relations de non-arbitrage. Mais ces relations sont non linéaires ce qui signifie qu'on peut trouver plusieurs volatilités implicites pour un strike donné sans qu'il y ait possibilité d'arbitrer.

[alph95]

Effectivement, mon explication ci-dessus concernant la volatilité n’est pas valable.

Cependant je reviens sur la volatilité, telle que je l’ai définie ci-dessus, car, si elle correspond à une formule correcte, elle n’est pas interprétée.

Donc reprenons.
Dans le couple moyenne-écart-type, les valeurs doivent être exprimées en pourcentage.
Par exemple {10%, 12%} avec S = 100 et r = 2% avec 1 an de maturité, et notons S*=S(1+r), on obtient :
. le Strike (K), soit K = 100(1+0.1) = 110, qui correspond bien, je persiste, à la valeur moyenne attendue en T.
. ensuite, 12% représente la volatilité (l’écart-type) et doit être appliquée :
. à K, soit 110(1+0.12), soit 123.20 pour donner Su
. à S*, soit 102/(1+0.12), soit 91.07 pour donner Sd.
Au final, on a bien K.S* = Su.Sd

L’originalité, c’est que l’écart-type n’est pas appliqué à une valeur unique.
Cela parce que la plage {K-S*} correspond à la prime de risque, i.e. S(µ-r), et donc, ne doit pas être retenue pour la prise en compte du risque, mais seulement dans la partie comptable.

D’ailleurs sous peu, je posterai le sujet, « Qui dit option dit pari », qui explicite le « vrai pari » d’une option.

A+

[alph95]

A la demande générale du "très gentil Maw", je vais m'expliquer sur la façon suivante d'évaluer Su et Sd :
. Su = K.(1+α)
. Sd = S*/(1+α)

Cela permettra de pricer un Call ou de le calibrer à l'aide simplement du solveur de la calculatrice, plutôt qu'avec l'aide du module graphique comme indiqué dans le sujet "comment calibrer simplement une option". Les résultats obtenus étant les mêmes.
Et, cerise sur le gâteau, je donnerai la formule magique, prête à l'emploi, pour déterminer le prix du Call en fonction uniquement de α.

C'est parti.
Notons pour la suite, que :
. je fais référence uniquement à un Call;
. S*, C* sont les valeurs de S(t), C(t) actualisés en T au taux sans risque.

Alors, commençons par nous demander : pourquoi acheter un Call plutôt que l’actif sous-jacent ?
Eh bien ! pour les 2 raisons suivantes :
. la perte est limitée au prix de l’option ;
. l’effet de levier.

L'effet de levier (Ω) est obtenu par la formule : Su / (Su – K).
En isolant Su, soit Su = K.[Ω / (Ω-1)], et par identification avec Su = K.[(1+α)], on en déduit :
. (1+α) = Ω / (Ω-1), α = 1 / (Ω – 1) et Ω = (1+α) / α

C'est un plus sioux de montrer que Sd = S*/(1+α) : cela dérive du risque de perte en relation avec l'effet de levier.
En effet, l'effet de levier signifie que le rendement excédentaire du Call est Ω fois supérieur à celui du sous-jacent. Et en même temps (tiens ! cette expression me dit qquechose !) il en est de même pour le risque, qui est Ω supérieur à celui du sous-jacent.
En définissant le "risque", ou "quantité de risque", par le pourcentage de perte maximum possible par rapport à l'investissement, cela donne pour le sous-jacent, (S* - Sd) / S.
Pour le Call, c'est 100% du prix (on peut tout perdre), auquel on ajoute le manque à gagner dans un placement sans risque, soit C*/C. Ou, ce qui revient au même, S*/S.
On a donc la relation S* / S = [(S* - Sd) / S] . Ω
Après simplification, on a Ω = S* / (S* - Sd). puis, comme ci-dessus, on isole Sd et après identification, on obtient bien :
. Sd = S* / (1+α).

Maintenant, venons-en à la formule magique.
Si on remarque que l'effet de levier correspond aussi à (S.Δ) / C, alors, la fameuse formule
. [C] = [S.Δ] – [B], peut être réécrite, terme à terme,  :
. [S.Δ.(α/(1+α)] = [S.Δ] – [S.Δ.(1/(1+α)]
D'où :
. C = [S.(α/(1+α).Δ]

Dans le modèle binomial 1 période, Δ = (Su - K) / (Su -Sd).
Et en remplaçant, dans cette formule, Su par K.(1+α) et Sd par S*/(1+α), on obtient après quelques manipulations :
. Δ = [α(1+α) / [(1+α)² - m] 
avec m le moneyness, S*/K,

Finalement, dans le modèle binomial 1 période, la formule directe pour pricer un Call vanille, est :
. C = S.[α² / ((1+α)² - m)]
En cas de distribution de dividende, il faut :
. valoriser en t au taux sans risque les dividendes versés, (D)
. appliquer la formule C = [S.α/(1+α) – D].Δ

α est donc la seule inconnue, facilement obtenue par un solveur si on connaît le prix du Call et ses caractéristiques de base.
La connaissance de cette valeur permet, alors, de valoriser les paramètres d'un Call : C, Su, Sd, Δ, Q, ...

[Maw]

Merci Alph95 pour ce développement et bien sûr pour le "très gentil Maw".
Très bonnes fêtes de fin d'année à vous.