Pourquoi dans la BS, µ(t) est remplacé par r(t)

C'est le forum du débutant. Les seules questions stupides ici sont celles qui ne sont pas posées!

Pourquoi dans la BS, µ(t) est remplacé par r(t)

Messagepar alph95 » 13 Jan 2020, 13:01

Pourquoi dans la fameuse formule de BS, µ(t) est remplacé par r(t) et que cela marche ?
Voici l'explication.

On peut concevoir qu'il existe 3 temps (comme pour la valse !) dans la vie d'une option :
. le temps t(0), le tout début;
. le temps t, maintenant;
. le temps T, l'échéance.

Les temps t et T sont bien connus; je ne m'y attarderai pas.

En revanche, le temps t(0) est bien moins connu, et j'irai même jusqu'à dire qu'il est inconnu. Ce qui n'empêche pas d'essayer de l'appréhender.

Voici de quelle façon.
Les options vanilles écrites au temps t(0), ont toutes les dates et prix d'exercice (T et K) suivants :
. T = T
. K = S(0).e^r(0)(T-t(0))
avec r(0), le taux sans risque en t(0).
On a donc dans ce cas précis, µ = r(0).
Et,vous l'avez surement remarqué, il s'agit donc uniquement d'options ATMF.

Alors, comme l'à écrit mon maître à penser, j'ai nommé Alphonse Allais, "l'équateur étant une ligne imaginaire, il est donc facile de la déplacer", je le suivrai en disant que le temps t(0) étant inconnu, on peut imaginer qu'en t(0), r(0) était égal à r(t) (le taux sans risque actuel). Et, comme r(t) doit être constant pendant toute la durée de vie de l'option, cela explique pourquoi on utilise r(t) dans la BS en lieu et place de µ(t).

Si on se place en t, il y a de fortes chances que l'on ait :
. r(t) = r(0)
. S(t) <> S(0)
. µ(t) <> r(t)
. K = S.e^µ(T-t)

Que pensez-vous de cette interprétation ?

cdlt
alph95
 
Messages: 77
Inscrit le: 05 Fév 2013, 11:27

Re: Pourquoi dans la BS, µ(t) est remplacé par r(t)

Messagepar Maw » 13 Jan 2020, 19:48

alph95 a écrit:Pourquoi dans la fameuse formule de BS, µ(t) est remplacé par r(t) et que cela marche ?
Voici l'explication.

On peut concevoir qu'il existe 3 temps (comme pour la valse !) dans la vie d'une option :
. le temps t(0), le tout début;
. le temps t, maintenant;
. le temps T, l'échéance.

Les temps t et T sont bien connus; je ne m'y attarderai pas.

En revanche, le temps t(0) est bien moins connu, et j'irai même jusqu'à dire qu'il est inconnu. Ce qui n'empêche pas d'essayer de l'appréhender.

Voici de quelle façon.
Les options vanilles écrites au temps t(0), ont toutes les dates et prix d'exercice (T et K) suivants :
. T = T
. K = S(0).e^r(0)(T-t(0))
avec r(0), le taux sans risque en t(0).
On a donc dans ce cas précis, µ = r(0).
Et,vous l'avez surement remarqué, il s'agit donc uniquement d'options ATMF.

Alors, comme l'à écrit mon maître à penser, j'ai nommé Alphonse Allais, "l'équateur étant une ligne imaginaire, il est donc facile de la déplacer", je le suivrai en disant que le temps t(0) étant inconnu, on peut imaginer qu'en t(0), r(0) était égal à r(t) (le taux sans risque actuel). Et, comme r(t) doit être constant pendant toute la durée de vie de l'option, cela explique pourquoi on utilise r(t) dans la BS en lieu et place de µ(t).

Si on se place en t, il y a de fortes chances que l'on ait :
. r(t) = r(0)
. S(t) <> S(0)
. µ(t) <> r(t)
. K = S.e^µ(T-t)

Que pensez-vous de cette interprétation ?

cdlt


Historiquement, les options étaient évaluées avant Black Scholes en utilisant peu ou prou un µ au lieu de r. Le problème était qu'on connaissait le µ ex-post. Le modèle de Boness par exemple, celui de Samuelson.
Le remplacement de µ par r peut se comprendre intuitivement via la méthode Derman-Taleb.
Pour faire rapide, un contrat forward (future OTC) vaut call-put.
Fwd = Call - put et Fwd (T) = S(T) - K à la date T (expiration).
le call vaut exp(-r.T)E[S-K]+
le put vaut exp(-r.t)E[K-S]+

Donc Fwd = exp(-r.t)[S(0).exp(µ.T)-K]à la date 0.
Pour être sans risque, et éviter les opportunités d'arbitrage, µ doit être égale à r.

Encore une fois, il s'agit du prix en t=0, pas la valeur.
Il est d'ailleurs très facile de réintroduire µ dans Black Scholes et permettre des stratégies en fonction des anticipations sur µ.
Avatar de l’utilisateur
Maw
Moderateur
 
Messages: 2124
Inscrit le: 16 Mars 2010, 16:22

Re: Pourquoi dans la BS, µ(t) est remplacé par r(t)

Messagepar alph95 » 17 Jan 2020, 17:37

Maw,

on est d'accord : acheter un Call et vendre un Put revient à acheter un contrat forward.
Sauf qu'il faut comparer ce qui est comparable : quand on achète un contrat forward, il n'y a pas d'entrée/sortie de trésorerie. Il faut donc le comparer seulement à un achat de Call et une vente de Put ATMF. Sinon les P&L en T sont différents et ça change tout.

Dans cette optique, il est évident, sans avoir à se triturer les méninges, comme Derman et Taleb, que µ est identique à r.

C'est, en quelque sorte, ce que j'ai exprimé ci-avant.

Cependant, je ne suis pas satisfait de mon interprétation, car elle se réfère à une situation imaginaire, comme celle du monde risque neutre ou comme celle du delta hedging.

Il faut se baser sur du réel, pas sur de l'artificiel : ton cheval de bataille, n'est-il pas Maw ?
Donc, je vais réfléchir à nouveau à "Why does risk neutral valuation work ?"

Sans prise de tête, of course !
alph95
 
Messages: 77
Inscrit le: 05 Fév 2013, 11:27

Re: Pourquoi dans la BS, µ(t) est remplacé par r(t)

Messagepar Maw » 18 Jan 2020, 10:52

alph95 a écrit:Maw,

on est d'accord : acheter un Call et vendre un Put revient à acheter un contrat forward.
Sauf qu'il faut comparer ce qui est comparable : quand on achète un contrat forward, il n'y a pas d'entrée/sortie de trésorerie. Il faut donc le comparer seulement à un achat de Call et une vente de Put ATMF. Sinon les P&L en T sont différents et ça change tout.


Oui mais le coût de cette sortie de trésorerie est "pricé" dans le forward et la call put parité fonctionne quelque soit le strike, pas seulement ATMF.
NB : le forward ne fait pas intervenir de flux de trésorerie avant le terme, mais en pratique on va demander des garanties (financières) pour le créer parce qu'il y a quelques risques quand même :D .

alph95 a écrit:Dans cette optique, il est évident, sans avoir à se triturer les méninges, comme Derman et Taleb, que µ est identique à r.

C'est, en quelque sorte, ce que j'ai exprimé ci-avant.

Cependant, je ne suis pas satisfait de mon interprétation, car elle se réfère à une situation imaginaire, comme celle du monde risque neutre ou comme celle du delta hedging.

Il faut se baser sur du réel, pas sur de l'artificiel : ton cheval de bataille, n'est-il pas Maw ?
Donc, je vais réfléchir à nouveau à "Why does risk neutral valuation work ?"

Sans prise de tête, of course !


Mais "le monde du delta hedging" est imaginaire si on traite qu'une seule option. Les frais de transactions explosent le principe de réplication par exemple. Dès qu'on a un book d'options, ils deviennent négligeables lorsqu'ils sont rapportés à une seule option (économies d'échelle).
Ce même monde te dit que tu pourra continuellement hedger ton option. Ben je défie n'importe qui de hedger un short put pendant un krach avec le sous-jacent seulement. Certains ont essayé, ils ont eu des problèmes.

L'évaluation "risque neutre" est un outil, pas une réalité. Pour l'accepter comme réalité il faut accepter que les marchés soient "complets", et là, il y a comme quelques soucis (sauf dans la tête de Fama). Et c'est normal, "les modèles sont tous faux, mais ils sont utiles".
Si tu regardes par exemple le modèle Hull & White, le premier avec une vol stochastique, le modèle te dit que pour évaluer une option, il faut déjà en avoir une autre qui soit cotée. D'un point de vue conception, c'est quand même pas terrible. Mais l'apport du modèle permet de saisir le smile par exemple et la très grande majorité des modèles de marché sont avec une vol sto.

Tout ça pour te dire qu'il faut une base pour évaluer des instruments pour lesquels le marché ne le fait pas pour toi. Mais personne ne va négocier le prix théorique obtenu. On va rajouter deux ou trois "trucs". ;)
Avatar de l’utilisateur
Maw
Moderateur
 
Messages: 2124
Inscrit le: 16 Mars 2010, 16:22


Retourner vers Trading Options Basics

Qui est en ligne ?

Utilisateur(s) parcourant actuellement ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 4 invité(s)

cron