Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

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Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

Messagepar jlr » 17 Oct 2012, 08:39

bonjour,

j'ai vu, dans la file de l'excellent (!!) Bruno, qu'il essaie de traduire l'évolution de son PnL par les Grecs, c'est à dire expliquer quelle est la part de l'évolution liée à chaque grec individuellement.

Il y a, dans cette file un lien vers Wikipedia donnant la formule de Taylor pour une fonction à 2 variables: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor

A partir de cet exemple, j'ai essayé d'extrapoler à une fonction à 4 variables (Spot, Vol, maturité et taux) à l'ordre 2.
Si on appelle V le portefeuille d'option, la valorisation de V s'écrit :
Taylor1.gif
Taylor1.gif (5.27 Kio) Consulté 5869 fois

Bon, je vais (déjà) m’arrêter afin de laisser aux forts en math le temps de corriger :oops: :oops:
Par la suite, il y a du ménage à faire dans certains termes d'ordre 2 ...

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Re: Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

Messagepar PRDC Dreamin' » 17 Oct 2012, 08:53

T'attaques fort pour ton retour :lol:

Par la suite, il y a du ménage à faire dans certains termes d'ordre 2 ...


Et dans un premier temps commence simplement avec l'ordre 1 ?
Puis par la suite pour l'ordre 2 concentre toi sur les termes qui concernent les variables qui ont les plus gros mouvements en general.
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Re: Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

Messagepar BrunoVai » 17 Oct 2012, 09:00

Oh pt1..... :roll:
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Re: Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

Messagepar jlr » 17 Oct 2012, 09:06

PRDC Dreamin' a écrit:T'attaques fort pour ton retour :lol:

Par la suite, il y a du ménage à faire dans certains termes d'ordre 2 ...


Et dans un premier temps commence simplement avec l'ordre 1 ?
Puis par la suite pour l'ordre 2 concentre toi sur les termes qui concernent les variables qui ont les plus gros mouvements en general.


rabat joie !! :D :D

En fait, je veux tout d'abord écrire proprement l'équation et ensuite, je commencerais bien sûr par l'ordre 1 : Delta, Theta, Vega et Rho.
Le passage à l'ordre 2 se fera quand l'ordre 1 sera programmé et validé (donnera des résultats pas trop idiots plutôt ...). Et comme j'essaie de ne pas coder avec les pieds, je préfère avoir une vue d'ensemble dès le départ et c'est pour ça que j'ai besoin d'une validation de la chtite équation du départ ;)

BrunoVai a écrit:Oh pt1..... :roll:


j'ai dis un gros mot ? :mrgreen:

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Re: Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

Messagepar PRDC Dreamin' » 17 Oct 2012, 09:11

Oh pt1.....


T'as fait une attaque en voyant la formule ? :lol:
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Re: Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

Messagepar BrunoVai » 17 Oct 2012, 09:30

PRDC Dreamin' a écrit:
Oh pt1.....


T'as fait une attaque en voyant la formule ? :lol:


C'est rien de le dire....
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Re: Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

Messagepar BrunoVai » 17 Oct 2012, 09:31

Le passage à l'ordre 2 se fera quand l'ordre 1 sera programmé et validé (donnera des résultats pas trop idiots plutôt ...).


C'est-à-dire ?
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Re: Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

Messagepar jlr » 17 Oct 2012, 10:19

BrunoVai a écrit:
Le passage à l'ordre 2 se fera quand l'ordre 1 sera programmé et validé (donnera des résultats pas trop idiots plutôt ...).


C'est-à-dire ?


C'est quel mot que tu ne comprends pas ? :lol:
En fait j'aurais plutôt dû écrire "Le passage à l'ordre 2 se fera quand l'ordre 1 sera programmé et codé avec le moins d'approximations possible"

Quelques précisions justement sur ces approximations :

en gros, il y a les approximations dues à la formule de Taylor, c'est à dire que la valeur donnée par cette formule, si on reste à l'ordre 1 par exemple, embarque une erreur qui sera atténuée si on passe à l'ordre 2 et encore plus si on passe à l'ordre 3, etc ....
Après, il y a aussi des approximations qui sont dues à la méthode de résolution. Puisque les grecs sont des fonctions convexes (et donc non linéaires), je pense qu'il est nécessaire de bien choisir la valeur de l'incrément (le terme n'est pas super bien choisi) lors de la résolution. Par exemple, pour calculer le PnL dû au Delta, on fait Delta . (S-S0).

On peut faire un calcul approché de Delta de la manière suivante :

Delta =[ Valeur Option (S+dS, vol, matu, r) - Valeur Option (S-dS, vol, matu, r) ] / (2.dS)

Il faut déjà bien choisir dS à cause de la convexité du machin. C'est un compromis entre d'une part prendre un dS grand qui entraîne une erreur sur la dérivée, ou prendre un dS petit qui entraîne une erreur numérique. Je pense prendre une valeur de l'ordre de 0.1% à 1% de S.

On peut faire aussi :
Delta =[ Valeur Option (S+dS, vol, matu, r) - Valeur Option (S, vol, matu, r) ] / dS
ou
Delta =[ Valeur Option (S, vol, matu, r) - Valeur Option (S-dS, vol, matu, r) ] / dS

qui donnent des résultats très proches, la première solution étant à priori la meilleure car on est centré par rapport à S (S-dS; S+dS).

Après, pour être plus juste, on peut intégrer le skew de vol et ça devient un peu plus chaud ...

C'est à dire que si on calcule la prime avec un Spot égal à S+dS, on doit intégrer le fait que la vol à S n'est pas égale à la vol à S+dS. On doit prendre vol+dvol, dvol étant fonction du skew de vol.
On peut dire que la vol est fonction de S via le skew toutes choses égales par ailleurs.

donc :

Delta =[ Valeur Option (S+dS, vol(S+dS), matu, r) - Valeur Option (S-dS, vol(S-dS), matu, r) ] / (2.dS)

Dans le code, il faut calculer vol(S -/+ dS) avec le polynôme approximant le skew de vol pour l'échéance donnée.

Donc finalement on a une approximation en se limitant à l'ordre 1 et une autre qui est fonction de la méthode numérique utilisée.


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Re: Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

Messagepar Calendarspread » 17 Oct 2012, 10:51

Fait gaffe aux grecs numériques et à ton approx
Quand tu calcules ton delta avec V(S+dS)-V(S), t'as déjà du gamma,.... dedans, +/- importnt en fonction du dS.
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Re: Valorisation d'un PnL par la formule de Taylor

Messagepar jlr » 17 Oct 2012, 14:08

Calendarspread a écrit:Fait gaffe aux grecs numériques et à ton approx
Quand tu calcules ton delta avec V(S+dS)-V(S), t'as déjà du gamma,.... dedans, +/- importnt en fonction du dS.

je savais bien que je ferais pas le malin très longtemps :?

Je ne comprends pas trop.
Au départ, j'ai :
écart de PnL = Delta.(S-S0) + Vega.(Vol-Vol0) + Theta.(T-T0) + Rho.(r-r0) + 1/2.Gamma.(S-S0)2 + ...

La part gamma est dans le terme "1/2.Gamma.(S-S0)^2". Il y en a aussi dans le premier terme ?



Bon comme je n'ai pas de remarques sur la 1ère équation, je suppose qu'elle est juste 8-)

La suite :

je pars de la 1ère équation :
Taylor1.gif
Taylor1.gif (5.27 Kio) Consulté 5828 fois


J'ai, en face de cette équation, des termes (plus ou moins) connus :
Taylor2.gif
Taylor2.gif (3.47 Kio) Consulté 5828 fois

En remplaçant ces termes dans l'équation, on arrive à :
Taylor3.gif
Taylor3.gif (5.02 Kio) Consulté 5828 fois

Il reste 5 terme du 2nd ordre dont je ne sais pas trop quoi faire... Je dirais intuitivement qu'étant très petits, ces termes sont négligés :?:
Cependant, j'ai vu quelques discussions sur le forum où il était question d'un terme de 3ème ordre, le "speed", qui est la dérivée 3ème par rapport au Spot. Ce terme d'ordre 3 aurait plus d'influence que les termes d'ordre 2 cités ci-dessus ?

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