Arbre trinomial - calcul de la colonne "spot final"

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Arbre trinomial - calcul de la colonne "spot final"

Messagepar jessie » 06 Oct 2017, 11:59

Bonjour,

J'étudie actuellement les arbres trinomiaux. Dans l'exemple http://www.strategies-options.com/fic/232-modele-trinomial-version-detaillee-on-price.html je ne comprends pas comment est calculé la colonne "spot final". Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

Merci d'avance,

Jessie
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Re: Arbre trinomial - calcul de la colonne "spot final"

Messagepar Maw » 06 Oct 2017, 12:10

Bonjour jessie (rebonjour) et bienvenue sur le forum.
jessie a écrit:Bonjour,

J'étudie actuellement les arbres trinomiaux. Dans l'exemple http://www.strategies-options.com/fic/232-modele-trinomial-version-detaillee-on-price.html je ne comprends pas comment est calculé la colonne "spot final". Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

Merci d'avance,

Jessie


Pour calculer le spot final (la colonne), on part du niveau du spot actuel (100 sur la fiche) et on applique à chaque fois un coefficient multiplicatif (u=1.08..) qui correspond à exp(sigma*racine(2dt)). Puis la même chose au spot final(1) obtenu (108.05) pour obtenir le second à la hausse (116.76) et ainsi de suite (30 fois dans l'exemple).
On fait la même chose pour les spot finaux "à la baisse), cette fois avec d=exp(-sigma*racine(2dt)), 30 fois à la baisse (92.55) et ainsi de suite.

Vous trouverez la feuille excel dans ce file Modele Trinomial : Pricers
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Re: Arbre trinomial - calcul de la colonne "spot final"

Messagepar jessie » 06 Oct 2017, 13:22

Merci d'avoir répondu si rapidement :) Je comprends ce que vous voulez dire.

Je comprends comment est obtenue la première ligne de cette colonne. Par contre, je ne comprends pas pourquoi on passe d'une ligne à l'autre en multipliant par le coefficient d.

Merci
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Re: Arbre trinomial - calcul de la colonne "spot final"

Messagepar Maw » 06 Oct 2017, 14:28

Je crois comprendre, dis moi si c'est bien ça (sinon je reprendrai).
Le modèle trinomial comme son petit frère binomial ou les différences finies en général fonctionne en "backwardation". On définit d’abord les spots finaux possibles et on remonte le temps jusqu'au présent.

Les niveaux de spot sont définis dans un univers risque neutre, c'est à dire que si en matchant les deux premiers moments de la distribution :

E[S]=pSu+(1-p-q)Sm+qSd=Sexp(rdt) (l’espérance du spot est une valorisation au taux sans risque sur chaque période)
E[S²]-E[S]²=(S²sigma²dt) la variance matche celle de la distribution (environ)

2 équations et pas mal d'inconnues, ça va laisser des degrés de liberté (on pourra matcher d'autres moments de la distribution et obtenir d'autres équations) .

On souhaite qu'il soit recombinant, donc d=1/u (une hausse suivie d'une baisse redonne le niveau originel Sm), pour que les calculs soient rapides. L'intérêt en plus c'est que ça enlève une inconnue des équations.
Donc en se donnant des coefficients de hausse et de baisse, on peut retrouver des probabilités p, q et 1-p-q.

Une fois trouvées les probabilités, en partant des payoffs on applique le fait que la valeurs de l'option à la date précédente est l'espérance actualisée du payoff, qu'on peut exprimer par Option(t-1) = exp(-rdt)*[p*payoff( si up en t)+(1-p-q)*payoff(si même spot en t)+q*payoff(si down en t)].
En t-2, on n'utilise plus les payoffs finaux, mais directement les valeurs des options que l'on avait trouvées.
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Re: Arbre trinomial - calcul de la colonne "spot final"

Messagepar jessie » 06 Oct 2017, 15:11

Je crois que je comprends ce que vous voulez dire et si c'est le cas il me semble que ça ne répond pas à ma question..

Dans l'exemple on a ça :

(extrait de Le modèle trinomial : version détaillée - On price !)
Maintenant, les calculs
1 - Les spots finaux et les payoffs
- Dans la cellule E4, on entre la formule"=C2*C13^C5"
- Dans la cellule F4, on entre la formule"=MAX((E4-$C$2);0)"

Puis,
- Dans la cellule E5, on entre la formule"=E4*$C$14"
- Dans la cellule F5, on entre la formule"=MAX((E5-$C$2);0)"

- Dans la cellule E6, on entre la formule"=E5*$C$14"
- Dans la cellule F6, on entre la formule"=MAX((E6-$C$2);0)"

- Dans la cellule E7, on entre la formule"=E6*$C$14"
- Dans la cellule F7, on entre la formule"=MAX((E7-$C$2);0)"

...

- Dans la cellule E63, on entre la formule"=E62*$C$14"
- Dans la cellule F63, on entre la formule"=MAX((E62-$C$2);0)"

- Dans la cellule E64, on entre la formule"=E63*$C$14"
- Dans la cellule F64, on entre la formule"=MAX((E64-$C$2);0)"


Je comprends d'où viennent les formules pour la colonne F, je comprends d'où vient la formule pour la case E4 mais je ne comprends pas les formules pour les cases E5 à E63.
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Re: Arbre trinomial - calcul de la colonne "spot final"

Messagepar Maw » 06 Oct 2017, 15:28

jessie a écrit:Je crois que je comprends ce que vous voulez dire et si c'est le cas il me semble que ça ne répond pas à ma question..

Dans l'exemple on a ça :

(extrait de Le modèle trinomial : version détaillée - On price !)
Maintenant, les calculs
1 - Les spots finaux et les payoffs
- Dans la cellule E4, on entre la formule"=C2*C13^C5"
- Dans la cellule F4, on entre la formule"=MAX((E4-$C$2);0)"

Puis,
- Dans la cellule E5, on entre la formule"=E4*$C$14"
- Dans la cellule F5, on entre la formule"=MAX((E5-$C$2);0)"

- Dans la cellule E6, on entre la formule"=E5*$C$14"
- Dans la cellule F6, on entre la formule"=MAX((E6-$C$2);0)"

- Dans la cellule E7, on entre la formule"=E6*$C$14"
- Dans la cellule F7, on entre la formule"=MAX((E7-$C$2);0)"

...

- Dans la cellule E63, on entre la formule"=E62*$C$14"
- Dans la cellule F63, on entre la formule"=MAX((E62-$C$2);0)"

- Dans la cellule E64, on entre la formule"=E63*$C$14"
- Dans la cellule F64, on entre la formule"=MAX((E64-$C$2);0)"


Je comprends d'où viennent les formules pour la colonne F, je comprends d'où vient la formule pour la case E4 mais je ne comprends pas les formules pour les cases E5 à E63.


Ok donc colonne F on est d'accord, ce sont les payoffs.
La colonne E correspond à tous les niveaux de spot pour lesquels on calcule les prix des options.
Raisonnons, non pas de E4, mais à partir de E34, la où cela correspond au niveau actuel du spot pour lequel on cherche la valeur de l'option.
Comme à chaque fois on a besoin d'un niveau de spot au dessus (108.05) et en dessous (92.55) pour calculer la suite, si on prend cette fois comme référence 108.05, on obtient comme spot en dessous 100 et comme spot au dessus 116.76. On s'aperçoit qu'en partant de 100, pour arriver à 116.76, on a fait 100*1.0805*1.0805.
Si on continu, on arrive à 1021.43 (cellule E4) qui correspond à 100*(1.0805)^30. Ok ?

Comme l'arbre est recombinant on peut partir de E4 (1021.43) et trouver E5, avec E5=E4*0.9255 puisque E5=100*(1.0805)^30*0.9255=100*(1.0805)^29*(1.8005*0.9255)=100*(1.805)^29 . Ok ?
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Re: Arbre trinomial - calcul de la colonne "spot final"

Messagepar jessie » 06 Oct 2017, 15:41

D'accord, merci beaucoup j'ai tout compris ! :D

Bonne fin de journée !
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