Qui dit option dit pari

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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar Maw » 23 Mars 2018, 09:02

Je crois que même en prenant des % extravagants sur les mises, ça ne suffit pas à expliquer la survie des bookmakers (Brexit le payoff c'est 10 x le montant des cotes ;) ).
Mais si vous le souhaitez, nous pourrions prendre un exemple réel d'une option existante et en tirer les renseignements que vous trouvez. Ce serait plus marquant .
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 02 Avr 2018, 11:51

Maw,
raisonner sur un exemple, réel ou pas, n’apportera rien de neuf; mais pourquoi pas.
Les valeurs de Δ et de Q qui donnent le même bénéfice sont obtenues à partir du prix du Call tel que je l’ai indiqué dans le sujet « Comment calibrer simplement une option ». (Je ne désespère pas de trouver une « closed form formula » pour simplifier le processus.)

Et voilà mon avis sur la probabilité à choisir dans un modèle donné, BS ou autre…
Pour moi le pari consiste à prendre position sur S(T) : plus grand ou plus petit que S*. Si plus grand, on choisit un Call, dans le cas contraire un Put. Et je considère K comme la valeur moyenne attendue en T. Donc, en toute logique, Pour un Call, K doit être plus grand que S* et Lycée de Versailles.

Je suis donc pour utiliser les probabilités correspondant au « monde réel ».
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 05 Mai 2018, 11:39

Voilà la (les) closed-form formulas pour déterminer la (les) probabilités (ou cotes) d’une option.

Dans l’article Comment pricer simplement une option ", j’ai émis l’idée de valoriser :
. Su = K.(1 + α)
. Sd = S*/(1+ α)
La solution est là : remplacer Su et Sd par les valeurs ci-dessus, ce qui ne nous donne plus qu’une variable à déterminer : α.
(Et dire que j’avais la solution sous les yeux ! C’est grave docteur ?)

Alors, après quelques manips, et en notant m, le moneyness, S*/K :
. Q = (m.α) / ((1+α)² - m)
. Δ = (α.(1 + α)) / ((1+α)² - m)
Et, par exemple, C* = (Su – K).Q donne :
. C* = (K.α). (m.α) / ((1+α)² - m)

Alors, connaissant C*, à l’aide d’un solveur, on détermine la valeur de α. Et tous les paramètres de l’option sont alors valorisés.

Dans l’exemple donné ci-dessus, α = 20%. Avec m = 1,08, on retrouve bien :
. Q = 0.6 et Δ = 0.6666

Allez A+
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar Maw » 08 Juin 2018, 09:55

Bonjour Alph95,

Une chose qui serait formidable serait de faire une synthèse globale de la méthode de "pricing" que vous avez construite. Ça permettrait de bien voir la logique et serait je pense, très pédagogique.
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 19 Juin 2018, 11:44

Bonjour Maw,

Pour l’instant je n’ai pas formalisé cette méthode.
Ce que je peux dire aujourd’hui, c’est quelle est basée sur une interprétation de Su et Sd.
En gros :
Su est la valeur de S(T) si S(T) est > K et, bien sûr, Sd la valeur de S(T) si S(T) est < K.
Ensuite, je pars du principe que l’on a l’égalité suivante :
. Su.Sd = S*.K d’où Su / K = S* / Sd
Et ce rapport, je l’ai nommé (1 + α), ce qui donne :
. Su = K. (1 + α) et Sd = S* / (1 + α)
En fait, j’aurai pu, tout aussi bien, l’appeler, α ou x.

J’attends, donc, de trouver une signification, autre que mathématique, à ce rapport.

Cdlt
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 01 Déc 2018, 12:46

Il est bien connu que le prix d'une option se compose d'une valeur intrinsèque et d'une valeur temps. La valeur temps s'explique par le fait que, d'ici à l'échéance, on pari que l'évolution du cours du sous-jacent sera favorable, ce qui accroitra la valeur intrinsèque. La valeur temps résulte donc du pari qui est pris.

Et tout l'enjeu est là ! Le but est donc d'évaluer la mise et la probabilité de réussite du pari qui sous-tend l'option.

Dans la méthode proposée ci-dessus, je décompose le prix d'une option en prime de risque + mise du pari. Reste à déterminer la probabilité de succès du pari, à savoir :
. S(T) > S* pour le Call;
. S(T) < S* pour le Put.
Comme précisé ci-dessus, on obtient,
Pour le Call :
. prime de risque : (S*-K);
. mise : C* - (S*-K);
. probabilité : 1 - Δ.
Pour le Put :
. prime de risque : (K-S*)
. mise : P* - (K - S*);
. probabilité : Δ (delta du Call)

J'illustrerai cela selon la méthode BS (une fois n'est pas coutume) dans le prochain post.

Quoiqu'on aboutisse au même prix de l'option qu'en utilisant la méthode risque neutre, cette façon d'appréhender une option est bien plus intéressante et surtout plus réaliste.

Quant à savoir à quoi correspond α dans l'égalité Su = K(1+α) et Sd=S*/(1+α), en fait il dérive de l'effet de levier du Call (Ω) ou élasticité.
Dans l'égalité Su / (Su-K) = Ω on isole Su et par identification on obtient :
α = 1 / (Ω -1) et (1 + α) = (Ω +1) / Ω
J'y reviendrai plus tard dans un post à part.

A+
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 08 Déc 2018, 12:16

Eh bien, voici le fruit de mes cogitations sur ce sujet à propos de la BS.

Classiquement, la BS évalue le prix du Call en partant du principe que l'on se trouve dans un monde "risque neutre", où le prix du Call correspond à la mise du pari, donc avec une prime de risque nulle.
Qu'en est-il si l'on considère que l'on se trouve dans le "monde réel", où existe bel et bien une prime de risque ?
Voyons cela.

Je fais référence à un Call, et, pour me faciliter l’écriture, je considère la période de validité égale à 1.
Je note S*et C* la valeur actualisée de S(t) et C(t ) en T au taux sans risque r.
Enfin, je note Mc, la mise du pari pour le Call.

Voici la formule classique BS que je reformule à ma façon :
. C* = S*.Δ – K.Q, avec
. Δ(N(d1)) = N ((ln(S/K) + ln(S*/S) + 0.5σ²) / σ)
. Q(N(d2)) = N ((ln(S/K) + ln(S*/S) - 0.5σ²) / σ)

Voici, maintenant la méthode alternative, celle où l'on se trouve dans le "monde réel".
On fait alors le pari que S(T) sera plus grand que S* (au lieu de K), et comme je n'arrête pas de le crier sur tous les toits, ln(K/S) comme dérive du sous-jacent, i.e. µ, (au lieu de r, ln(S*/S)).
Pour cela, c'est simplissime, on remplace dans 3 les équations ci-dessus S* par K et vice et versa.
Les nouvelles équations sont alors les suivantes :
. Mc = K.Δ – S*.Q, avec
. Δ = N ((ln(S/S*) + ln(K/S) + 0.5σ²) / σ)
. Q = N ((ln(S/S*) + ln(K/S) - 0.5σ²) / σ)
Ce qui nous donne la mise du pari du Call (Mc) !
En y ajoutant la prime de risque (S* - K), on obtient C*, le prix de vente du Call actualisé en T au taux sans risque.
La probabilité de succès est donnée par Q, ce qui correspond 1- N(d1) de la formule classique, comme spécifié ci-dessus. En fait, pour être aisément interprétable selon la loi log-normale, Q devrait s'écrire :
. Q =1- N((ln(S*) - (ln(S) + (µ - 0.5σ²)) / σ)
avec µ égal à ln(K/S)
Et donc N(d1) de la formule classique correspond à la probabilité S(T) < S* avec µ égal à ln(K/S).

De fait, dans la well-known formula BS, j’ai toujours été interpelé que le rendement moyen du sous-jacent, i.e. µ, n’y figure pas, qu’il ait été d'office remplacé par r sans plus d'explication (why does risk neutral valuation work ?). Il me fallait donc trouver le moyen de le faire apparaître.
Voilà qui est fait,
"Rien ne se perd, rien ne se crée : tout se transforme", n'est-il pas ?

Le principe est le même pour la méthode binomiale une période : intervertir dans les équations S* et K.

Il y a quand même un point à éclaircir : pourquoi le calcul de la mise du pari concernant le Call est égale au prix du Put actualisé en T ?
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