Qui dit option dit pari

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Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 07 Mars 2016, 11:44

Qui dit option dit pari. Oui, mais quel pari au juste ?

Pas celui correspondant au monde risque-neutre, i.e. :
. [C*] = [(S(T) – K)].[Q]
Monde dans lequel on fait en sorte de faire disparaître la prime de risque, et ainsi de faire croire qu’il n’y en a pas !

Non, le « vrai » pari, celui correspondant au monde réel, où une prime de risque est bien présente et prise en compte.

Alors, notons, C le Call, P le Put correspondant, S le spot, et C*, P* et S* ces valeurs actualisées en T au taux sans risque, ainsi que K le Strike et Δ le delta.
Voici donc le « vrai » pari qui sous-tend l’achat d’un Call (pari présenté sous la forme [mise]=[gain].[probabilité]) :
. [C* + ( K - S*)] = [(S(T) – S*)].[(1-Δ)]
avec :
. C*, le montant réellement déboursé,
. (K - S*), la prime de risque (qui peut être positive, négative ou nulle suivant le strike choisi) ;
. C* + (K – S*), la mise effective du pari ;
. S(T) – S*, le gain attendu du pari proprement dit;
. (1 – Δ), la probabilité de gagner le pari.

On remarquera que
a) La mise effective du pari correspond à P* !
b) le gain attendu du pari est (S(T) – S*) et non pas le classique (S(T) – K). Mais au final, en prenant en compte la prime de risque, le payoff (comptable) est bien égal à S(T) – K.
Pour le Put, la formule est :
. [P* - (K - S*)] = [(S* - S(T))].[Δ]

En résumé :
a) Le gain attendu du pari est S(T) – S* pour le Call et S*- S(T) pour le Put.
b) Δ et (1-Δ) sont les vraies probabilités de baisse et de hausse du cours du sous-jacent, i.e S(T) < S* et S(T) > S*.
c) Il existe bel et bien une prime de risque dans une option qui est égale à (K-S*).
d) K doit être identifié à S(1+µt) (ou Se^µt), le cours moyen du sous-jacent attendu en T ; µ étant la tendance (le drift) du sous-jacent. Ce qui est conforme à l’existence de la prime de risque correspondant à S.(µ-r)t.

En fait, tout cela vous le saviez déjà en partie : j’en avais parlé dans le post « Comment pricer simplement une option »

Maintenant, vous n’avez plus d’excuse pour ne pas :
« parier gagnant »

Des commentaires ?

Cdlt
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar Maw » 08 Mars 2016, 09:04

Si Δ = 1 , (1 – Δ), la probabilité de gagner le pari = 0, c'est bien ça ?
C'est embêtant non ?
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 08 Mars 2016, 18:12

On peut le voir comme ça.
Mais il n’y a rien d’embêtant, car au final, le principal c’est de gagner de l’argent, et c’est le cas.

Ré-écrivons la formule du pari ainsi :
C* = (S(T) – S*) .(1 – Δ) + (S* - K)
Si le delta vaut 1, c’est que le Call est fortement dans la monnaie. Alors (S* - K) est largement positif. Donc en revendant le Call (C* = S* - K), on doit gagner de l’argent.
Si on se trouve en T, le payoff correspond bien à S(T) – K, qui est également positif.
Cela est dû à la prise en compte d’une prime de risque égale à (K – S*).

Faisons une parenthèse.

Quand il existe une prime de risque dans un pari :
. soit on «l’escamote ». Pour cela, on détermine la probabilité afin de l’adapter à la mise qui est identifiée au montant total déboursé et au gain final attendu.
. soit on la prend en compte en tant que telle. Alors on détermine la « vraie » probabilité en identifiant le montant réellement misé au montant total déboursé plus la prime de risque, et au gain attendu. C’est le cas ci-dessus.

Exemple :
Soit un jeu de hasard, où en misant 1€ on en gagne 2 en cas de réussite. Supposons qu’on doive payer un droit d’entrée (i.e. une prime risque) de 10cts pour chaque € misé, alors :
. j’escamote la prime de risque en l’amalgamant avec la mise, ce qui correspond au total déboursé. La probabilité objectivée est alors 55% :
.. [1,10] = [2].[55%]
. ou je prends en compte la prime de risque en tant que telle ; alors la « vraie » probabilité objectivée est 50%, ce qui est bien le cas dans cet exemple :
.. [1,10 + (-0,10)] = [2].[50%]
Comptablement, le résultat final est le même, c’est 1,90€.

Dans le 1er cas, c’est typiquement ce qui se passe lorsqu’on dit qu’on se place dans un monde risque neutre : on escamote la prime de risque. La probabilité risque neutre en est un exemple. Cela explique que le rendement attendu soit égal à r(f) (le taux sans risque) puisque on a µ = r(f) + prime de risque. Aussi, plutôt de dire qu’on a supprimé le risque dans la formule BS, on devrait dire qu’on a fait disparaître la prime de risque, tel un prestidigitateur qui fait disparaître un lapin en le mettant dans son chapeau, alors qu’en fait, il se trouve caché pas très loin !
Faites sortir la prime de risque par la porte, elle revient par la fenêtre ! (Waouh ! On dirait une punchline de Warren Buffett, non ? En toute modestie, bien sûr !)

Dans le 2ème cas, c’est se placer dans le monde réel, où une prime de risque est demandée pour tout actif risqué et qui est réellement prise en compte en tant que telle pour la gestion du risque.

Fin de la parenthèse.

A+
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar Maw » 09 Mars 2016, 10:11

J'en reste avec un souci de conceptualisation sur le delta en termes de probabilité et donc le 1-delta (voir mon message avant).
La prime de risque, les "vraies probabilités" (je mets des jolis guillemets).... ne sont connues qu'ex-post. "Black Scholes et associés" ne disent pas le contraire. L'univers risque neutre provient d'une relation d'arbitrage, pas d'une évaluation ex-ante. On peut retrouver quel était le bon trend, votre µ, après. Pas avant. Voir Boness, Samuelson, etc... De la même manière un contrat Future / Forward sur indice boursier par exemple est défini par une relation d'arbitrage, pas d'une anticipation sur ce que sera le prix dans le future. Mais on peut retrouver, après l'échéance, votre µ pour ces instruments aussi (Call - Put devrait logiquement retomber dessus ;) ). Ça n'empêche pas d'avoir son avis sur ce que sera le prix futur, et même d'y placer des probabilités (qu'on confond avec des fréquences) qui correspondent à notre "espérance". Les vraies probabilités....on ne les connait pas et on ne peut pas les connaitre. Pire que ça, même si on les connaissait, ben on serait pas avancé. On peut être milliardaire ou ruiné en jouant avec une pièce à pile ou face, même si la pièce n'est pas truquée. Les probabilités ne sont exactes et efficaces que pour un nombre de parties infini ;) .
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 14 Mars 2016, 18:34

Tout d’abord, précisons ce que j’entends par « vraie » probabilité, bien que cela sorte du sujet, quoique…

Ex post, il n’y a plus de probabilités, il n’y a que des certitudes : l’événement a eu lieu ou pas.

Ex ante, définir une probabilité c’est affecter une valeur de 0 à 1 à un événement en fonction des hypothèses de travail et des hypothèses de modèles retenues. Par exemple, les hypothèses de travail peuvent considérer les événements comme continus ou les discréditer, le modèle peut être basé sur des fréquences ou pas, etc. L’important, c’est que ces hypothèses ne soient pas bancales : ce qu'on appelle « faire des plans sur la comète ».

Une « vraie » probabilité est celle qui est déterminée par des hypothèses de travail et de modèles considérées comme « réalistes ». Et comme cela peut être le cas pour différentes hypothèses, il peut y avoir plusieurs « vraies » probabilités correspondant à la survenance d’un événement. Il n’y a là rien de contradictoire.

La probabilité « risque neutre » n’est pas une « vraie » probabilité, en ce sens qu’elle n’est pas déterminée par des hypothèses réalistes, i.e. correspondant une certaine vision du monde réel (pas de prime de risque !). Et si l’univers risque neutre est basé sur une relation d’arbitrage, alors la relation d’arbitrage n’est qu’une relation théorique qui ne débouche sur rien de probant.

Quant à l’utilité d’une « vraie » probabilité : il est clair, qu’aucun projet risqué ne serait entrepris sans son estimation (chance de réussite).

Enfin, à propos du Forward, prenons un exemple : l’achat à terme de devises par une banque à un client. La Banque sait qu’elle va se trouver en position de change : alors, par anticipation, elle se couvre du risque pris (en vendant au comptant la même quantité de devises), tout en traitant le problème de trésorerie et de rentabilité que cela entraine. Et c'est à partir du résultat de ces opérations qu'elle détermine le prix forward. Je ne vois pas la main de l’AOA la dedans.
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar Maw » 14 Mars 2016, 22:58

Bonjour Alph95,

J'aime bien la discussion que nous avons car cela fixe les idées pour pas mal de sujets connexes.
Je me permets donc humblement d'y apportez mes réponses.

alph95 a écrit:Tout d’abord, précisons ce que j’entends par « vraie » probabilité, bien que cela sorte du sujet, quoique…

Ex post, il n’y a plus de probabilités, il n’y a que des certitudes : l’événement a eu lieu ou pas.


On est bien d'accord.

alph95 a écrit:Ex ante, définir une probabilité c’est affecter une valeur de 0 à 1 à un événement en fonction des hypothèses de travail et des hypothèses de modèles retenues. Par exemple, les hypothèses de travail peuvent considérer les événements comme continus ou les discréditer, le modèle peut être basé sur des fréquences ou pas, etc. L’important, c’est que ces hypothèses ne soient pas bancales : ce qu'on appelle « faire des plans sur la comète ».


C'est un peu le souci avec le modèle binomial à 1 période, dans le sens où ça réduit considérablement les cas possibles, seulement 2 prix.

alph95 a écrit:Une « vraie » probabilité est celle qui est déterminée par des hypothèses de travail et de modèles considérées comme « réalistes ». Et comme cela peut être le cas pour différentes hypothèses, il peut y avoir plusieurs « vraies » probabilités correspondant à la survenance d’un événement. Il n’y a là rien de contradictoire.


Des hypothèses différentes qui aboutissent à des probabilités différentes, on est ok.

alph95 a écrit:La probabilité « risque neutre » n’est pas une « vraie » probabilité, en ce sens qu’elle n’est pas déterminée par des hypothèses réalistes, i.e. correspondant une certaine vision du monde réel (pas de prime de risque !). Et si l’univers risque neutre est basé sur une relation d’arbitrage, alors la relation d’arbitrage n’est qu’une relation théorique qui ne débouche sur rien de probant.


La prime de risque est incluse dans le prix du sous jacent. L'évaluation risque neutre fait qu'en hedgeant avec le sous jacent, elle disparait et il ne reste comme problème que la volatilité. Voilà pourquoi si vous faites des simulations type monte carlo avec la même volatilité, il est impossible de voir la différence.

alph95 a écrit:Quant à l’utilité d’une « vraie » probabilité : il est clair, qu’aucun projet risqué ne serait entrepris sans son estimation (chance de réussite).


Allons, lorsque vous prenez votre voiture, vous savez que c'est risqué mais vous ne calculez pas les probabilités d'avoir un accident ou pas ;) .
Plus sérieusement, c'est l'espérance qui compte, pas la probabilité.

alph95 a écrit:Enfin, à propos du Forward, prenons un exemple : l’achat à terme de devises par une banque à un client. La Banque sait qu’elle va se trouver en position de change : alors, par anticipation, elle se couvre du risque pris (en vendant au comptant la même quantité de devises), tout en traitant le problème de trésorerie et de rentabilité que cela entraine. Et c'est à partir du résultat de ces opérations qu'elle détermine le prix forward. Je ne vois pas la main de l’AOA la dedans.


Pour pricer un forward, vous le faites à partir d'AOA.
Si vous calculez le prix F = exp( r-q) . S avec r-q le coût de portage et S le sousjacent, si vous le vendez plus cher vous êtes certain de gagner de l'argent, si vous l'achetez moins cher aussi. C'est donc un "fair price", issu d'une relation d'arbitrage.
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 28 Fév 2018, 11:27

Je reviens sur le sujet, pour préciser certains points et mettre un peu d’animation sur le forum !

On a vu qu’il existe 2 probabilités (p) : probabilité risque neutre et probabilité réelle (supposée).

Si on se place sur une période [0-T], alors on a la relation :
. Su.p + Sd(1-p) = Se^(µt), soit p = (e^(µt) – d) / (u –d)

Si µ est identifié à r, on se situe dans le monde risque neutre, et p = Q (probabilité que S(T) soit > K).
Et on a :
. Su.p + Sd(1-p) = Se^(rt)
Se^(rt) est l’espérance de µ sous la probabilité de Q.

Si µ est identifié à ln(K/S), on se situe dans le monde réel, et p = (1-Δ) (probabilité que S(T) soit plus grand que S*).
Et on a :
. Su.p + Sd.(1-p) = K
K est l’espérance de µ sous la probabilité de (1-Δ).

Les bookmakers anglais indiquent le bénéfice attendu d’un pari à l’aide d’une cote. Par ex : une cote de 3/1 (lire trois contre 1) représente un bénéfice attendu égal à 3 fois la mise.
Cette cote correspond au ratio : [(1 – p) / p].

Alors, naturellement, s’il est vraiment indifférent que l’on se situe dans l’un ou l’autre monde, le bénéfice attendu doit être le même. On doit donc avoir l’égalité :
. C*.(1-Q) / Q = (C* + (K – S*)).(Δ / ( 1 – Δ))
Sauf que ce n’est pas toujours le cas.

Un exemple, parmi d’autres : soit un Call avec S= 100, K = 100, T-t = 1 an, (1+r) = 1.08. Le prix du Call est 11,11.
Avec le modèle BS : Δ = 0.6999, Q = 0.6359, alors :
. C*.(1-Q) / Q = 6.87 et (C* + (K – S*)).Δ / (1 – Δ) = 9.33
Ca ne le fait pas.
Alors que si on prend Δ = 0.6666 et Q = 0.6, dans les 2 cas le bénéfice = 8
Ca le fait.

Alors, quelle calibration retenir ? Quelle calibration est la bonne ?
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar Maw » 01 Mars 2018, 12:59

Bonjour Alph95,

Ça fait plaisir de vous revoir sur le forum et de pouvoir vous apporter quelques uns de mes(nos) arguments. J'aurais l'occasion de détailler un peu plus mon propos par la suite, mais dans un premier temps votre post m'oblige à attirer l'attention sur un point que vous reprenez : les cotes des bookmakers.
Un bookmaker ne connait pas l'issue d'une course de chevaux, d'un match de foot, de la couleur de la robe de la reine d'Angleterre. Le PMU ne connait pas le résultat de la prochaine course qui se déroulera à Chantilly. Il n'établit donc pas ses cotes avec la connaissance du futur (même en probabilité). C'est ce qui lui permet de ne pas faire faillite. Il établit ses cotes en équilibrant son risque entre différents paris. Il se hedge ;) .
Je précise ce point parce que j'entends de plus en plus de journalistes qui parlent de probabilité de résultats d'élections à partir des cotes des bookmakers, et c'est.... marrant (voire stupide). D'ailleurs, très peu (aucun) de bookmakers ont mis la clé sous la porte avec le Brexit, alors qu'à priori les cotes ne reflétaient pas les résultats que nous connaissons aujourd'hui. Bizarre hein.... :lol: :lol: :lol:

alph95 a écrit:Je reviens sur le sujet, pour préciser certains points et mettre un peu d’animation sur le forum !

On a vu qu’il existe 2 probabilités (p) : probabilité risque neutre et probabilité réelle (supposée).

Si on se place sur une période [0-T], alors on a la relation :
. Su.p + Sd(1-p) = Se^(µt), soit p = (e^(µt) – d) / (u –d)

Si µ est identifié à r, on se situe dans le monde risque neutre, et p = Q (probabilité que S(T) soit > K).
Et on a :
. Su.p + Sd(1-p) = Se^(rt)
Se^(rt) est l’espérance de µ sous la probabilité de Q.

Si µ est identifié à ln(K/S), on se situe dans le monde réel, et p = (1-Δ) (probabilité que S(T) soit plus grand que S*).
Et on a :
. Su.p + Sd.(1-p) = K
K est l’espérance de µ sous la probabilité de (1-Δ).

Les bookmakers anglais indiquent le bénéfice attendu d’un pari à l’aide d’une cote. Par ex : une cote de 3/1 (lire trois contre 1) représente un bénéfice attendu égal à 3 fois la mise.
Cette cote correspond au ratio : [(1 – p) / p].

Alors, naturellement, s’il est vraiment indifférent que l’on se situe dans l’un ou l’autre monde, le bénéfice attendu doit être le même. On doit donc avoir l’égalité :
. C*.(1-Q) / Q = (C* + (K – S*)).(Δ / ( 1 – Δ))
Sauf que ce n’est pas toujours le cas.

Un exemple, parmi d’autres : soit un Call avec S= 100, K = 100, T-t = 1 an, (1+r) = 1.08. Le prix du Call est 11,11.
Avec le modèle BS : Δ = 0.6999, Q = 0.6359, alors :
. C*.(1-Q) / Q = 6.87 et (C* + (K – S*)).Δ / (1 – Δ) = 9.33
Ca ne le fait pas.
Alors que si on prend Δ = 0.6666 et Q = 0.6, dans les 2 cas le bénéfice = 8
Ca le fait.

Alors, quelle calibration retenir ? Quelle calibration est la bonne ?
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 01 Mars 2018, 14:48

Bonjour Maw,

Si j’ai fait référence aux bookmakers anglais c’est parce que leur système de cotation détermine le bénéfice attendu, alors que la cotation utilisée de nos jours en France détermine le montant encaissé (le payoff) ; ce qui correspond à 1 / p et non à (1-p) /p.

En fait, la cotation des options ressemblent aux paris mutuels, comme le PMU, où ce que l’un gagne, l’autre le perd. Et tant que l’échéance n’est pas survenue, on ne sait pas quel est le montant du bénéfice (si bénéfice il y a). Lorsqu’on prend le pari, la cote indiquée (calculée) est une cote probable, pas certaine.
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Re: Qui dit option dit pari

Messagepar alph95 » 11 Mars 2018, 12:13

Alors Maw, on sèche.

Voilà une piste.

En relisant l’article de notre ami commun J.P. J, je tombe sur la phrase suivante :
« Ce portefeuille a donc 2 rentabilités : sa rentabilité moyenne et celle des actifs sans risque, ce qui aboutit à une contradiction »

Mais non, il n’y a pas contradiction. On peut, pour évaluer un portefeuille, pricer une option, etc., utiliser une méthode en se basant principalement sur la rentabilité moyenne des actifs risqués, ou sur la rentabilité des actifs sans risque. Et ce, sans obligatoirement aboutir à un même résultat (hypothétique, bien sûr !), i.e. qui serait le résultat correspondant à une bonne analyse du marché !

Chacun voit midi à sa porte.
Je préciserai bientôt ma vision sur la question.

PS : Maw,
il n’y a pas que les bookmakers qui se mettent le doigt dans l’œil : et les analystes économiques, boursiers et autres … traders. Et si les bookmakers ne mettent pas la clé sous la porte, c’est qu’ils effectuent un prélèvement (exorbitant) de l’ordre de 10% sur les mises. Ce qui suffit très largement à les mettre à l’abri de quelques déconvenues.
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