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Le rhô ρ : une première approche

Publié le 05 Décembre 2011 par Strategies-options.com
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Le rhô ρ est la sensibilité du prix d'une option à une variation du taux d'intérêt "sans risque".

Le taux d'intérêt sans risque r entre dans la détermination du prix d'une option, call ou put (cf : Black & Scholes : Une Première Approche ou Modèle Binomial : Une Version Simple Pour Les Options Européennes).

Le prix d'une option, call ou put, est toujours inférieur au prix de l'actif sous-jacent sur lequel elle porte, acheter un call par exemple plutôt que l'actif sous jacent permet de décaisser moins d'argent, pour la même perspective de hausse.
L'argent non investi peut être placé sur un compte rémunéré. Il y a donc forcément une relation entre le prix de l'option et le taux d'intérêt.



I - Intuition pour le pour le call et pour le put:

Imaginons un portefeuille 1 composé d'un titre acheté 100 euros et d'un put de strike 100 échéance 1 an acheté 3 euros. Ce portefeuille 1 vaut 100 + 3 = 103 euros aujourd'hui.

Imaginons un second portefeuille, le portefeuille 2, composé d'un call strike 100 échéance 1 an acheté aujourd'hui à 4 euros et 99 euros qui sont placé au taux sans risque 1%. Ce portefeuille vaut aujourd'hui 99 + 4 = 103 euros aussi.

Ces deux portefeuilles sont semblables à l'échéance. Pour le montrer il suffit de voir que
Si le titre vaut 110 dans un an
- le portefeuille 1 vaudra : le put vaut 0 et le titre vaut 110 d'où le portefeuille vaut : 0 + 110 = 110 euros
- le portefeuille 2 vaudra : le call 100 vaut 110 - 100 = 10, les 99 placés à 1% valent 100, le portefeuille vaut 110 euros aussi.

Si le titre vaut 90 dans 1 an
- le portefeuille 1 vaudra : le put vaut 100 - 90 = 10 et le titre vaut 90 d'où le portefeuille vaut : 10 + 90 = 100 euros
- le portefeuille 2 vaudra : le call 100 vaut 0, les 99 placés à 1% valent 100, le portefeuille vaut : 0 + 100 = 100 euros aussi.

Intuitivement,
Si les taux augmentent, pour les mêmes perspectives, il devient plus intéressant de vendre le put et de vendre le titre qui tous deux immobilisent de l'argent et de le placer au taux d'intérêt sans risque et d'acheter un call. On aura donc mécaniquement une baisse du put, et une hausse du call.
Inversement, si les taux baissent, le placement sans risque finance moins le prix du call et il est plus intéressant d'acheter le titre et le put. Le prix du call baisse et celui du put monte.



II - Illustrations graphiques

Pour un call strike 100 échéance 1 an, une volatilité du sous jacent de 30% et un titre qui vaut 100, sa valorisation varie en fonction du taux d'intérêt sans risque ainsi :

Plus les taux d'intérêts sont élevés plus le call est cher.

Pour un put strike 100 échéance 1 an, une volatilité du sous jacent de 30% et un titre qui vaut 100 cela donne:

Plus les taux sont élevés, moins le put vaut cher.

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