La volatilité : une première approche

"The volatility is the most important and elusive quantity in the theory of derivatives"(P.W.)


I - Un besoin de quantifier l'agitation d'un actif

La quasi intégralité des instruments dérivés (options, warrants...) fait appel à la volatilité dans leurs évaluations et leurs gestions. Il est donc important de la définir.
Un moyen évident est d’étudier les rendements journaliers (les % gagnés ou perdus chaque jour) des actifs et de définir un indicateur qui puisse exprimer comment ils évoluent, avec quelle agitation sur le niveau de leurs cours. Cela aboutit naturellement à la définition de la volatilité historique :




II - Une définition

La volatilité est donc la quantité de variabilité du rendement d’un actif. On appelle cette volatilité, la volatilité historique parce qu'elle est basée sur l'historique des cours.


C’est un nombre sans unité qui s’exprime en % et il existe plusieurs manières de le calculer. Elle est souvent annualisée ( et non annuelle). Nous aurons l'occasion d'y revenir. Une prochaine fiche expliquera en détails l’histoire de la détermination du calcul de la volatilité, mais attachons nous ici à ce qui nous préoccupe : la manière dont elle est calculée sur les marchés.




III - Le Calcul de la volatilité

■ Comment se calcule la volatilité historique ?

→ Il est nécessaire de définir un moyen qui permette de mesurer la volatilité historique. On a besoin pour ça de définitions complémentaires



A - La rentabilité journalière d'un actif - rentabilité continue.

Si on appelle P(t), le prix d’un actif financier (action, obligation, devise..) à la date t et P(t-1) le prix de cet actif financier à la date t-1, on définit le rendement quotidien r(t) de cet actif à la date t du titre par :

r(t) = Ln( P(t) / P(t-1) )

où Ln(x) désigne la fonction logarithme népérien (cf : Wikipédia : le logarithme népérien). L’intérêt de cette écriture est que pour une période comprise entre 0 et t, le rendement total est la somme des rendements par période,

Le rendement total R de la date 1 à la date t est ainsi :

R (période 1→ période t) = r(1) + r(2) + r(3) + .... r(t-2) + r(t-1) + r(t)

Et on a,

R = r(1) + r(2) + .... + r(t-1) + r(t)
R = Ln(P(1) / P(0)) + ... Ln(P(t-1) / P(t-2)) + Ln(P(t) / P(t-1))


Grâce à la fonction logarithme, on sait que Ln(a) + Ln(b) = Ln(a.b)

D'où

R = Ln[(P(1) / P(0) . (P(2) / P(1))....(P(t) / P(t-1)]
R = Ln[(P(1) . P(2)..... P(t-1) . P(t)) / (P(0) . P(1) . P(2)....P(t-2) . P(t-1))]
R = Ln( P(t) / P(0) )

Finalement il s'agit du rendement calculé à partir des prix finaux P(t) et initiaux P(0).



■ Pourquoi la fonction logarithme ?
On passe d’une somme à un produit avec la fonction logarithme !

En fait le rendement est normalement calculé comme l’écart de variation relatif du prix. C'est à dire que si un actif a un prix de P(t) à la date t et P(t+h) à la date t+h>t, le rendement r s’écrit :

r = ( P(t+h)-P(t) ) / P(t) = [ P(t+h) / P(t) ] - 1

Lorsque le rendement r est petit (de l’ordre de quelques pour-cents), on a :

r ≈ Ln( 1 + r )

On peut donc substituer r avec le logarithme du rapport des cours puisque,

r ≈ Ln( 1 + r )
r ≈ Ln( 1 + ( [ P(t+h) / P(t) ] - 1 ) )
r ≈ Ln( P(t+h) / P(t) )


A partir d’une série de cours de clôture par exemple, il suffit donc de prendre le logarithme du rapport de deux cours consécutifs afin de calculer les rentabilités journalières r(t).
On peut aussi calculer le rendement total R en prenant uniquement les cours initiaux et finaux.

A noter, avec n cours de clôture, on obtient (n-1) rentabilités (il faut au moins 2 cours pour déterminer 1 rentabilité journalière)




B - La volatilité pour les universitaires

La volatilité est couramment définie par l’écart type des rentabilités journalières. Il existe bien sûr d’autres définitions, mais c’est celle qui est communément admise en finance quantitative « académique ».

σ_jour = √ [ ∑ ( r (t) - r_m )² / ( n - 1 ) ]


r(t) est le rendement pour la période [t - 1, t]
r_m est la valeur moyenne des rendements calculée sur [1,t]

Le n - 1 provient du fait que n données permettent de calculer n-1 rentabilités.
La moyenne r_m est par conséquent calculée à partir de n - 1 rentabilités.

Il s’agit « de la racine carrée de la moyenne du carré des écart à la moyenne ». C’est un peu indigeste comme définition, mais c’est très simple à calculer.

L’écart type exprime la dispersion des valeurs autour de leur moyenne. Afin d’attacher plus de poids au grands écarts par rapport à cette moyenne des rendements et aussi pour avoir des nombres qui soient positifs, on calcule le carré des écarts à la moyenne ( c’est en fait l’écart r(t) - r_m que l’on élève au carré). On fait la moyenne de ces carrés des écarts, on obtient le "carré de l'écart à la moyenne" moyen, ce que l'on appelle la variance (cf Wikipédia : variance). Puis afin de reprendre une « même dimension », on prend la racine carrée du résultat.




C - La volatilité pour les traders

La volatilité calculée comme ci dessus pose un problème simple en terme de trading. Si la rentabilité journalière est égale à la rentabilité moyenne ( r(t) = r_m ), la volatilité est nulle. Cf : La Volatilité : Trading Formulae.

On lui préfère la volatilité non centrée sur la moyenne


σ_jour = √ [ ∑ ( r (t) )² / ( n - 1 ) ]


r(t) est le rendement pour la période [t - 1, t] et r = Ln( P( t ) / P( t - 1 ) ). Elle est en plus plus simple et plus rapide à calculer.


■ Volatilité annualisée
Les résultats obtenus par les formules ci dessus donnent des chiffres qui correspondent à une volatilité pour 1 jour (souvenez vous que les rentabilités sont quotidiennes !).
Afin d'apprécier les différentes volatilités sur une période d'un an, il est d'usage de multiplier ce nombre par un coefficient qui permettent simplement de se rendre compte de la variabilité de l'actif pendant 1 an. C'est à dire, obtenir un nombre qui transcrive le fait que cet actif a le même comportement pendant 365 jours (si on compte les week-ends).

Pour cela on revient à la variance. On a vu que l'on avait calculé "le carré de l'écart à la moyenne des rendements quotidiens" moyen, c'est à dire pour 1 jour.
Pour calculer "le carré de l'écart à la moyenne des rendements quotidiens" sur 365 jours, il suffit de multiplier la variance par 365. On en déduit l'écart type annualisé en prenant la racine carrée du résultat :


Variance = σ²_jour = [ ∑ ( r (t) )² / ( n - 1 ) ]



Pour la Variance annualisée, si on part du principe que l'année correspond à 365 jours, et que chaque jour on a la même variance quotidienne σ²_jour, on a

Variance Annualisée = 365 . σ²_jour
Variance Annualisée = 365 . [ ∑ ( r (t) )² / ( n - 1 ) ]

Finalement, comme la volatilité est par définition la racie carrée de la variance,

Volatilité Annualisée = √ ( Variance Annualisée )
Volatilité Annualisée = √ (365 . σ²_jour)

Volatilité Annualisée = √ (365 . [ ∑ ( r (t) )² / ( n - 1 ) ] )


Dans la prochaine fiche, on décompose le calcul sur un tableur type Excel, OpenOffice.


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