logo strategies-options Accès Site
 
panier
"Gérer, c'est prévoir"
Le site consacré aux stratégies de trading incorporant des produits dérivés, en particulier des options.
Accueil  >  ABC des Options  >  La volatilité : une première approche 

La volatilité : une première approche

Publié le 04 Septembre 2011 par Strategies-options.com
icone rss


Les marchés bougent. Pas toujours dans les mêmes proportions, ni avec les mêmes rythmes. On a besoin d'un indicateur pour quantifier ces mouvements.

La confrontation de l'offre et de la demande sur les marchés aboutit à des variations permanentes des prix des actifs. C'est ce qui peut faire l'intérêt d'un marché.
En contrepartie, le fait que les prix bougent signifie des possibilités de gains ou de pertes proportionnelles à l'amplitude des fluctuations. Plus un actif bouge de manière ample, et plus on gagne si on est dans le bon sens ou plus on perd si on est contre le marché. On est donc dans une incertitude plus grande sur le résultat d'une position. C'est ce que l'on appelle un risque.

The volatility is the most important and elusive quantity in the theory of derivatives (P.W.)

Bien évidemment le prix d'une option dépend de la capacité du sous-jacent à bouger ou non. Plus il est susceptible de bouger, plus chère doit être la prime. Il est donc important de quantifier la manière dont un sous-jacent bouge pour trader efficacement les options.



I - Un besoin de mesurer l'agitation d'un actif

Un moyen évident est d’étudier les rendements journaliers (les % gagnés ou perdus chaque jour) des actifs et de définir un indicateur qui puisse exprimer comment ils évoluent, avec quelle agitation sur le niveau de leurs cours. Cela aboutit naturellement à la définition de la volatilité historique.



II - Une définition

La volatilité est donc la quantité de variabilité du rendement d’un actif. On appelle cette volatilité, la volatilité historique parce qu'elle est basée sur l'historique des cours.


C’est un nombre sans unité qui s’exprime en % et il existe plusieurs manières de le calculer. La volatilité est souvent annualisée ( et non annuelle). Nous aurons l'occasion d'y revenir. Une prochaine fiche expliquera en détails l’histoire de la détermination du calcul de la volatilité, mais attachons nous ici à ce qui nous préoccupe : la manière dont elle est calculée sur les marchés.



III - Le Calcul de la volatilité

▪ Comment se calcule la volatilité historique ?

→ Il est nécessaire de définir un moyen qui permette de mesurer la volatilité historique. On a besoin pour ça de définitions complémentaires



A - La rentabilité journalière d'un actif - rentabilité continue.

Si on appelle P(t), le prix d’un actif financier (action, obligation, devise..) à la date t et P(t-1) le prix de cet actif financier à la date t-1, on définit le rendement quotidien r(t) de cet actif à la date t du titre par :

r(t) = Ln( P(t) / P(t-1) )

où Ln(x) désigne la fonction logarithme népérien (cf : Wikipédia : le logarithme népérien). L’intérêt de cette écriture est que pour une période comprise entre 0 et t, le rendement total est la somme des rendements par période (il y aura t rendements),

Le rendement total R de la date 1 à la date t est ainsi :

R 1→t = r1 + r2 + r3 + .... rt-2 + rt-1 + rt

Et on a,

R = r1 + r2 + r3 + .... rt-2 + rt-1 + rt
R = Ln(P1 / P0) + ... Ln(Pt-1 / Pt-2) + Ln(Pt / Pt-1)


Grâce à la fonction logarithme, on sait que Ln(a) + Ln(b) = Ln(a x b)

D'où

R = Ln[(P1 / P0 . (P2 / P1)....(Pt / Pt-1]
R = Ln[(P1 . P2..... Pt-1 . Pt) / (P0 . P1 . P2....Pt-2 . Pt-1)]
R = Ln( Pt / P0 )

Finalement il s'agit du rendement calculé à partir des prix finaux Pt et initiaux P0.



▪ Pourquoi la fonction logarithme ?
On passe d’une somme à un produit avec la fonction logarithme !

En fait le rendement est normalement calculé comme l’écart de variation relatif du prix. C'est à dire que si un actif a un prix de P(t) à la date t et P(t+h) à la date t+h>t, le rendement r s’écrit :

r = ( P(t+h)-P(t) ) / P(t) = [ P(t+h) / P(t) ] - 1

Lorsque le rendement r est petit (de l’ordre de quelques pour-cents), on a :

r ≈ Ln( 1 + r )

On peut donc substituer r avec le logarithme du rapport des cours puisque,

r ≈ Ln( 1 + r )
r ≈ Ln( 1 + ( [ P(t+h) / P(t) ] - 1 ) )
r ≈ Ln( P(t+h) / P(t) )


A partir d’une série de cours de clôture par exemple, il suffit donc de prendre le logarithme du rapport de deux cours consécutifs afin de calculer les rentabilités journalières r(t).
On peut aussi calculer le rendement total R en prenant uniquement les cours initiaux et finaux.

A noter, avec n cours de clôture, on obtient (n-1) rentabilités (il faut au moins 2 cours pour déterminer 1 rentabilité journalière)




B - La volatilité pour les universitaires

La volatilité est couramment définie par l’écart type des rentabilités journalières. Il existe bien sûr d’autres définitions, mais c’est celle qui est communément admise en finance quantitative « académique ».

σjour = √ [ ∑1→n-1 ( r (t) - rm )² / ( n - 1 ) ]


r(t) est le rendement pour la période [t - 1, t]
rm est la valeur moyenne des rendements calculée sur [1,t]

Le n - 1 provient du fait que n données permettent de calculer n-1 rentabilités (il faut au moins deux cours pour calculer un rendement).
La moyenne rm est par conséquent calculée à partir de n - 1 rentabilités.

Il s’agit « de la racine carrée de la moyenne du carré des écart à la moyenne ». C’est un peu indigeste comme définition, mais c’est très simple à calculer.

L’écart type exprime la dispersion des valeurs autour de leur moyenne. Afin d’attacher plus de poids au grands écarts par rapport à cette moyenne des rendements et aussi pour avoir des nombres qui soient positifs, on calcule le carré des écarts à la moyenne ( c’est en fait l’écart r(t) - rm que l’on élève au carré). On fait la moyenne de ces carrés des écarts, on obtient le "carré de l'écart à la moyenne" moyen, ce que l'on appelle la variance (cf Wikipédia : variance). Puis afin de reprendre une « même dimension », on prend la racine carrée du résultat.




C - La volatilité pour les traders

La volatilité calculée comme ci dessus pose un problème simple en terme de trading. Si la rentabilité journalière est égale à la rentabilité moyenne ( r(t) = rm ), la volatilité est nulle. Cf : La Volatilité : Trading Formulae.

On lui préfère la volatilité non centrée sur la moyenne


σjour = √ [ ∑ ( r (t) )² / ( n - 1 ) ]


r(t) est le rendement pour la période [t - 1, t] et r = Ln( P( t ) / P( t - 1 ) ). Elle est en plus plus simple et plus rapide à calculer.


Volatilité annualisée
Les résultats obtenus par les formules ci dessus donnent des chiffres qui correspondent à une volatilité pour 1 jour (souvenez vous que les rentabilités sont quotidiennes !).
Afin d'apprécier les différentes volatilités sur une période d'un an, il est d'usage de multiplier ce nombre par un coefficient qui permettent simplement de se rendre compte de la variabilité de l'actif pendant 1 an. C'est à dire, obtenir un nombre qui transcrive le fait que cet actif a le même comportement pendant 365 jours (si on compte les week-ends).

Pour cela on revient à la variance. On a vu que l'on avait calculé "le carré de l'écart à la moyenne des rendements quotidiens" moyen, c'est à dire pour 1 jour.
Pour calculer "le carré de l'écart à la moyenne des rendements quotidiens" sur 365 jours, il suffit de multiplier la variance par 365. On en déduit l'écart type annualisé en prenant la racine carrée du résultat :


Variance = σ²jour = [ ∑ ( r (t) )² / ( n - 1 ) ]



Pour la Variance annualisée, si on part du principe que l'année correspond à 365 jours, et que chaque jour on a la même variance quotidienne σ²jour, on a

Variance Annualisée = 365 . σ²jour
Variance Annualisée = 365 . [ ∑ ( r (t) )² / ( n - 1 ) ]

Finalement, comme la volatilité est par définition la racie carrée de la variance,

Volatilité Annualisée = √ ( Variance Annualisée )
Volatilité Annualisée = √ (365 . σ²jour)

Volatilité Annualisée = √ (365 . [ ∑ ( r (t) )² / ( n - 1 ) ] )


Dans la prochaine fiche, on décompose le calcul sur un tableur type Excel, OpenOffice.



La suite : La Volatilité : On Price !
Précédent :
Définition Simple D'une Option
Trading Option - Quel Strike Choisir ?



Dans ce chapitre ...
La Volatilité : Une Première Approche
La Volatilité : On Price !
La Volatilité : Trading Formulae
Volatilité De Parkinson
Volatilité De Garman-Klass
Volatilité Implicite
Skew De Volatilité
Smile De Volatilité
Surface De Volatilité : Une Première Approche

Strategies-options.com
D'autres Fiches
Strategie Options sur Devises - USDJPY ( Suivi 10 et fin )
- Les Stratégies Options sur Forex -
Strategie Options sur Devises - USDJPY ( Suivi 10 et fin )
P&L + 367267 JPY, environ + 3846 USD
Le straddle : Naturellement Delta Neutre
- Stratégies Options Fondamentales -
Le straddle : Naturellement Delta Neutre
Le straddle delta neutre profite autant à la hausse qu'à la baisse du sous-jacent. Ce straddle n'est pas ATM
Black & Scholes: les grecs
- Modèles d'évaluation d'options -
Black & Scholes: les grecs
Le modèle de Black-Scholes définit la valeur théorique d'une option de type européen. Mais la gestion précise d'une telle option a besoin de plus d'outils : les grecs.
Strategies Options CAC 40 - Static Hedge - Suivi 1
- Formations -
Strategies Options CAC 40 - Static Hedge - Suivi 1
Un premier point qui commence bien.
Gestion du risque par le CME
- Calculateur Online Volatilité Implicite -
Gestion du risque par le CME