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Le modèle binomial : On price ! La suite

Publié le 04 Avril 2010 par Strategies-options.com
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Pair ou impair ? La parité du nombre de périodes influe énormément sur l'estimation du prix de l'option. On peut peut-être en tirer parti !

Dans l'article précédent (cf : Le Modèle Binomial : On Price !) nous avions vu que l'on pouvait très facilement, à l'aide d'un tableur, calculer le prix d'une optionl de type européen avec le modèle binomial. L'une des grandes forces de ce modèle est son caractère intuitif. On imagine une hausse et une baisse du sous-jacent pour l'échéance, on calcul l'espérance du "payoff" (résultat financier de l'option à l'échéance) et on l'actualise pour en connaitre la valeur aujourd'hui.

On va voir qu'on peut encore améliorer la précision des résultats, avec moins d'efforts.



I - Une première approximation

L'approximation que nous avions obtenue était de 14.1334 avec 30 périodes, pour un call 1 an strike 100, un taux d'intérêt sans risque de 5%, une volatilité du sous jacent de 30%.
On avait noté que le modèle continu de Black & Scholes fournissait avec les mêmes paramètres un prix pour ce call européen de 14.2312. L'estimation par le modèle binomial était donc légèrement en dessous du prix de Black & Scholes.





II - Un pas de plus

Si au lieu de prendre 30 périodes nous avions utilisé 31 périodes, nous aurions obtenu une approximation pour le call de 14.3201, légèrement au dessus de Black & Scholes.



Si on continue l'approximation
▪ en prenant 100 périodes, on trouve un prix pour le call de 14.2018,
▪ avec 101 périodes on obtient 14.2584.



III - Une astuce : un constat

On constate que, plus le nombre de périodes n est grand et plus on se rapproche du résultat de Black & Scholes, en outre, selon que le nombre de périodes est pair ou impair, l'approximation est soit au dessous, soit au dessus du prix de Black & Scholes.

On peut bien sûr augmenter le nombre de périodes 10000, 100000.... pour être plus précis mais cela devient très couteux en terme de temps de calcul pour votre ordinateur.
Essayez avec notre programme de calculer la valeur de ce call pour un nombre de périodes égale à 171 et c'en est déjà fini (Excel comme beaucoup de tableurs rencontre des problèmes pour calculer des nombres comme 171! ,on dit "factoriel 171" ce qui vaut 171 x 170 x 169 x ...3 x 2 x 1) et au delà, parce que le calcul dépasse ses capacités).


Un moyen très simple
Il suffit de calculer le prix de l'option avec un nombre pair n de périodes, puis le re-calculer avec un nombre n+1 de périodes et d'en faire la moyenne.
Dans notre tout premier exemple, avec 30 périodes on avait un prix de 14.1334, avec 31 périodes on avait un prix pour le call de 14.3201. La moyenne de ces deux nombre est ( 14.1334 + 14.3201 ) / 2 = ( 28.4535 ) / 2 = 14.2267, valeur assez proche de celle de Black & Scholes.

Avec 100 et 101 périodes on a: Valeur moyenne = ( 14.2018 + 14.2584 ) / 2 = 14.2301 pas très loin de Black & Scholes 14.2312.


L'intérêt
L'intérêt est qu'avec 10 périodes et 11 périodes on obtient déjà une très bonne approximation. Ce call calculé avec 10 périodes donne un résultat de 13.9407, calculé avec 11 périodes on obtient 14.4831, la moyenne des deux approximations donne ( 13.9407 + 14.4831 ) / 2 = 14.2119, une très bonne approximation, meilleure que celle obtenue avec 100 périodes, avec très peu de calculs effectués.


La suite : Modèle Binomial : Version Détaillée
Précédent : Le Modèle Binomial : On Price !
Article connexe : Black & Scholes : Une Première Approche


Pdf connexes :

- BINOMIAL MODEL


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