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Le modèle binomial : On price !

Publié le 01 Avril 2016 par Strategies-options.com
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Un moyen très simple et très facile d'évaluer une option avec le modèle binomial est de le réaliser sur un tableur type Excel ou OpenOffice par exemple.

On a vu (cf : Modèle Binomial : Une Version Simple Pour Les Options Européennes) qu'à partir de calculs très simples, on peut évaluer une option, de type européen. La suite logique est de montrer comment simplement on peut calculer le prix d'une option avec ce modèle binomial en utilisant un tableur type Excel ou OpenOffice.



I - Variables et paramètres

Avant toute chose, pour calculer le prix d'une option avec le modèle binomial, on a besoin de données. Elles sont au nombre de 7.
Les variables
Le prix actuel du sous-jacent S
La maturité de l'option en année T
Les paramètres
Le prix d'exercice ou strike K
La volatilité annualisée de l'actif sous jacent σ en % (pour la calculer :La Volatilité : On Price !)
Le taux d'intérêts sans risque r en % par an (il s'agit du taux monétaire ayant même maturité que l'option calculée)
Le taux de dividende annuel q en %
Le nombre de périodes n (plus le nombre est important, plus grande est la précision).



II- Calculs Préliminaires

Ils seront au nombre de 5.
-durée d'une période en année(s) (en fait c'est la maturité en année(s) divisée par le nombre de périodes choisi n)
- coefficient de hausse u
- coefficient de hausse d = 1 / u
- probabilité "risque neutre " de hausse du sous-jacent entre chaque période p
- probabilité q complémentaire à p, avec q = 1 - p
cf : Modèle Binomial : Une Version Simple Pour Les Options Européennes



III - Réalisation à l'aide d'un tableur

Nous allons décomposer la réalisation d'un pricer 30 périodes pour évaluer un call de type européen (exerçable uniquement à l'échéance) de prix d'exercice ou strike à 100, pour un sous-jacent (une action par exemple) actuellement à 100 et ayant une volatilité σ de 30%, le call ayant une maturité d'1 an avec comme taux d'intérêt sans risque de 0.05 ou 5% et pour l'instant pas de dividende.

a- ouvrir une feuille vierge d'un tableur

Les colonnes A, B, C sont réservées aux données, calculs préliminaires

b- On remplit les cellules de la manière suivante:
- dans la cellule B2 on inscrit "sous jacent S", dans la cellule C2 on entre la valeur "100"
- dans la cellule B3 on inscrit "strike K", dans la cellule C3 on entre la valeur "100"
- dans la cellule B4 on inscrit "maturité en année T", dans la cellule C4 on entre la valeur "1"
- dans la cellule B5 on inscrit "nombre de périodes n", dans la cellule C5 on entre la valeur "30"
- dans la cellule B6 on inscrit "taux d'intérêt sans risque r", dans la cellule C6 on entre la valeur "0.05"
- dans la cellule B7 on inscrit "taux de dividende q", dans la cellule C7 on entre la valeur "0"
- dans la cellule B8 on inscrit "coût de portage b=r-q", dans la cellule C8 on entre la formule "=C6-C7"
- dans la cellule B9 on inscrit "durée d'une période en année dt", dans la cellule C9 on entre la formule "=C4/C5"
- dans la cellule B10 on inscrit "volatilité sigma", dans la cellule C10 on entre la valeur "30%"

Jusqu'à présent, on a rentré ce qui constituera les données originelles.
Maintenant on passe aux calculs préliminaires.
- dans la cellule B13 on inscrit "coefficient de hausse u", dans la cellule C13 on entre la formule "=EXP(C10*RACINE(C9))"
- dans la cellule B14 on inscrit "coefficient de baisse d", dans la cellule C14 on entre la formule "=1/C13"

Les "probabilités"

- dans la cellule B17 on inscrit "probabilité risque neutre de hausse p", dans la cellule C17 on entre la formule "=(EXP(C8*C9)-C14)/(C13-C14)"
- dans la cellule B20 on inscrit "1-p", dans la cellule C20 on entre la formule "=1-C17"
On obtient :


Maintenant, les calculs
- Dans les cellules E4, E5, E6, E7....E33, E34 on entre la formule "=$C$5" . Normalement toutes les cellules ont pris la même valeur, 30 pour notre exemple puisque c'est un modèle avec 30 périodes.
- Dans la cellule F4 on entre la valeur"=0", et dans la cellule G4 on entre la formule "=E4-F4".

- Dans la cellule F5 on entre la formule"=F4+1", et dans la cellule G5 on entre la formule "=E5-F5".
On fait la même chose avec les cellules F6 où on entre la formule "=F5+1" et dans G6 la formule "=E6-F6" puis avec toutes les cellules F7,F8,F9....F33,F34 et G7,G8,G9,....G33,G34.
On obtient ceci


- Dans la cellule I5 on entre la formule"=((FACT(E4)/(FACT(F4)*FACT(G4))))", et dans la cellule J5 on entre la formule "=(PUISSANCE($C$17;F4))" et dans la cellule K5 on entre la formule "=(PUISSANCE($C$20;G4))".
Il suffit par la suite de faire un "copier-coller" des cellules I5, J5, K5 pour les cellules I6, J6, K6 I7, J7, K7 I8, J8, K8 .....I33, J33, K33 I34, J34, K34
On obtient cela :


Enfin,
- Dans la cellule M4 on entre la formule"=I4*J4*K4*(MAX(($C$2*PUISSANCE($C$13;F4)*PUISSANCE($C$14;G4))-$C$3;0))"
Un "copier-coller" de la cellule M4 est à faire pour les cellules M5,M6,M7,...M33,M34
On obtient


LE RÉSULTAT
- Dans la cellule C24 on calcule "=somme(M4:M34)"
- Dans la cellule C25 on calcule "=+EXP(-C6*C4)*C24" et c'est le résultat de notre approximation de calcul de call.

Finalement cela donne


On trouve un valeur du call égale à 14.1334 euros.
Pour info, le modèle Black & Scholes donne 14.2312 euros.

TRÈS SIMPLE ET TRÈS FACILE !

"Par hasard", essayons de "re-pricer" cette option, mais sur 31 périodes cette fois. Que constate t-on ? On voit ça dans la prochaine fiche.


La suite : Le Modèle Binomial : On Price ! La Suite
Précédent : Modèle Binomial : Une Version Simple Pour Les Options Européennes


Pdf connexes :

- BINOMIAL MODEL


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