Le modèle binomial : une version simple pour les options européennes

Le modèle binomial est un modèle discret d’évaluation d’options. D’une grande simplicité, il a permis à des générations de traders et de market-makers d’évaluer leurs books avec une flexibilité suffisante pour leur permettre de gagner leurs vies, et parfois plus.



I - Un modèle discret !

Le modèle binomial est un modèle discret par opposition aux modèles dit « continus » ou à « temps continu », c’est à dire qu’il calcule la valeur d’une option en décomposant la maturité T exprimée en année(s) de l’option en n périodes égales de maturité ∆t.

On a donc :

T = n.∆t

Bien entendu, plus le nombre n de périodes est grand, plus la période est petite (de telle manière que la multiplication de l’un avec l’autre soit toujours égale à T), et plus on tend à avoir un modèle qui ressemble aux modèles continus.



II - Les données

Soient
S le sous-jacent
K le strike
σ la volatilité
b = r - q le coût de portage
avec
r le taux d’intérêt sans risque de maturité
q le dividende si le sous jacent est une action, le taux d’intérêt étranger s’il s’agit d’une devise par exemple.



III - Le modèle binomial

Le modèle binomial stipule que si on fractionne la durée de vie de l’option T en « n » petite durées « ∆t » qui valent chacune
∆t = T ∕n et que,

On pose u est le coefficient de hausse, d le coefficient de baisse tels que
u = exp( σ . √∆t )
d = exp( - σ√∆t )

On pose p est la probabilité « risque-neutre » de hausse du sous-jacent et
p = ( ( exp(b . ∆t) - d ) / ( u - d )

Où exp(.) est la fonction exponentielle de base e

Et que l’on note
m = n - i

Alors on a pour un call et un put de type européen,



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