Bien qu'apparus en 1978 sur le CBOE bien après la cotation des calls (1974), on a toujours su créer des puts à partir d'une relation qui lie calls et puts de type européen ayant même prix d'exercice, même maturité et même sous-jacent.
Il s'agit probablement d'une des relations entre instruments et actifs financiers les plus regardées à chaque instant dans le monde.
I - Le raisonnement très simple est le suivant :
Imaginons qu'il n'y ait pas de
taux d'intérêt.
Si on achète un call de strike 100 d'échéance 1 an par exemple, que l'on vend un put de strike 100 d'échéance 1 an sur le même sous-jacent, dans un an on bénéficie soit de la hausse que le sous-jacent au dessus du strike 100, soit on pâtit de la baisse du sous jacent sous le strike 100.
On a donc
C - P = S - K
où,
C est la valeur du Call
P est la valeur du Put
S est la valeur du Sous-jacent
K est la valeur du prix d'exercice
Exemple, si le sous-jacent à l'échéance vaut 90, on sait que pour le Strike 100, la valeur du call - la valeur du put vaut nécessairement 90 - 100 = -10.
En effet, si le sous-jacent vaut 90 :
→ le put vaut 10 ( 100 - 90 )
→ le call vaut 0 ( max(90-100;0)
Ainsi call - put = 0 - 10 = - 10
Ce que l'on peut écrire
K = S + P - C
Cela, de manière certaine,
à terme.
Si les taux ne sont pas nuls, ce que j'ai aujourd'hui s'il reste t année(s) avant l'échéance, c'est :
K / ( 1 + R )
t = K . ( 1 + R )
- t
Si on raisonne avec un r taux continûment composé, on a :
K / exp(
r . t) = K . e
- r.t
où r est le taux sans risque continûment composé sur la période t (
Actualisation : Un Principe Fondamental).
Je peux donc écrire qu'aujourd'hui pour la période t qui reste jusqu'à l'échéance :
K . e- r.t = S + P - C
Ou de la même manière que précédemment :
C - P = S - K . e- r.t
Cette relation s'appelle la relation
de call-put parité. Elle est fondamentale car basée sur un principe d'arbitrage et non à partir d'un modèle. En effet, aucune hypothèse n'est faite sur le comportement du sous-jacent S pour avoir cette équation.
Elle est toujours respectée (aux spreads bid/ask près) lorsqu'il est possible de vendre le sous-jacent à découvert.
II - Intérêt:
Le principal intérêt de cette relation réside dans le fait qu'elle exprime la valeur d'un call en fonction d'un put et vice versa mais aussi une stratégie de réplication.
On a :
▪
C = P + S - K . (e- r.t)
La valeur d'un call de strike K est identique à celle d'un portefeuille composé d'un put de strike K et d'un titre S financés par
l'emprunt d'un montant qui vaudra K à l'échéance pendant une période
t au taux
r. On appelle cette stratégie un
call synthétique
et :
▪
P = C + K . (e- r.t) - S
La valeur d'un put de strike K est identique à celle d'un portefeuille composé d'un call de strike K de la vente à découvert d'un titre S qui finance
le placement d'un montant qui vaudra K à l'échéance
t au taux
r. On appelle cette stratégie un
put synthétique
Mais aussi :
▪
S = C - P + K . e- r.t
On peut répliquer la valeur d'un titre en plaçant un montant qui vaudra K au terme de
t années au
taux d'intérêt r, achetant 1 call de strike K et en vendant à découvert un put P de strike K, call et put ayant pour maturité
t. Cette stratégie s'appelle un
sous-jacent synthétique
Et enfin :
▪
K . e- r.t = S - C + P
On peut répliquer le placement sans risque d'un montant qui vaudra à l'échéance pendant une période t en achetant le sous-jacent S en vendant un call C de strike K à découvert et en achetant un put P de strike K, call et put ayant pour maturité
t. Cette stratégie s'appelle un
placement monétaire synthétique ou
placement sans risque synthétique
Ces stratégies peuvent servir à optimiser la trésorerie par exemple, mais aussi le risk management. Par exemple des options largement "dans la monnaie" (DITM) sont parfois non cotées par les market-makers. En passant par les "synthétiques", on peut recréer l'option qui nous convient et qui ne serait pas négociable sur le marché.
III - S'il y a des dividendes
S'il y a des dividendes qui sont versés par S pendant la durée de vie de l'option, on peut par simplification :
▪ remplacer dans tout ce qui a été dit avant S par Se
-qT si le dividende peut être supposé continûment versé sur la période de vie de l'option
▪ remplacer S par S - d ou d correspond à la valeur actuelle du versement des dividendes. C'est cette méthode qui reste la plus précise et qui est effectivement utilisée par les market-makers pour évaluer leurs options.
A retenir :
C - P = S - K . exp(- r . t)
La suite :
Call-put Parité : Taux Et Future
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Définition Simple D'une Option Strategies Options