Call-put parité : une relation typiquement européenne

Bien qu'apparus en 1978 sur le CBOE bien après la cotation des calls (1974), on a toujours su créer des puts à partir d'une relation qui lie calls et puts de type européen ayant même prix d'exercice, même maturité et même sous-jacent.
Il s'agit probablement d'une des relations entre instruments et actifs financiers les plus regardées à chaque instant dans le monde.



I - Le raisonnement très simple est le suivant :

Imaginons qu'il n'y ait pas de taux d'intérêt.
Si on achète un call de strike 100 d'échéance 1 an par exemple, que l'on vend un put de strike 100 d'échéance 1 an sur le même sous-jacent, dans un an on bénéficie soit de la hausse que le sous-jacent au dessus du strike 100, soit on pâtit de la baisse du sous jacent sous le strike 100.

On a donc C - P = S - K

où,
C est la valeur du Call
P est la valeur du Put
S est la valeur du Sous-jacent
K est la valeur du prix d'exercice

Exemple, si le sous-jacent à l'échéance vaut 90, on sait que pour le Strike 100, la valeur du call - la valeur du put vaut nécessairement 90 - 100 = -10.

En effet, si le sous-jacent vaut 90 :
→ le put vaut 10 ( 100 - 90 )
→ le call vaut 0 ( max(90-100;0)
Ainsi call - put = 0 - 10 = - 10


Ce que l'on peut écrire K = S + P - C
Cela, de manière certaine, à terme.


Si les taux ne sont pas nuls, ce que j'ai aujourd'hui s'il reste t année(s) avant l'échéance, c'est :

K / ( 1 + R )^t = K . ( 1 + R )^{- t}

Si on raisonne avec un r taux continûment composé, on a :

K / exp( r . t) = K . e^{- r.t}

où r est le taux sans risque continûment composé sur la période t (Actualisation : Un Principe Fondamental).


Je peux donc écrire qu'aujourd'hui pour la période t qui reste jusqu'à l'échéance :
K . e^{- r.t} = S + P - C

Ou de la même manière que précédemment :

C - P = S - K . e^{- r.t}

Cette relation s'appelle la relation de call-put parité. Elle est fondamentale car basée sur un principe d'arbitrage et non à partir d'un modèle. En effet, aucune hypothèse n'est faite sur le comportement du sous-jacent S pour avoir cette équation.
Elle est toujours respectée (aux spreads bid/ask près) lorsqu'il est possible de vendre le sous-jacent à découvert.



II - Intérêt:

Le principal intérêt de cette relation réside dans le fait qu'elle exprime la valeur d'un call en fonction d'un put et vice versa mais aussi une stratégie de réplication.

On a :

▪ C = P + S - K . (e^{- r.t})

La valeur d'un call de strike K est identique à celle d'un portefeuille composé d'un put de strike K et d'un titre S financés par l'emprunt d'un montant qui vaudra K à l'échéance pendant une période t au taux r. On appelle cette stratégie un call synthétique


et :

▪ P = C + K . (e^{- r.t}) - S

La valeur d'un put de strike K est identique à celle d'un portefeuille composé d'un call de strike K de la vente à découvert d'un titre S qui finance le placement d'un montant qui vaudra K à l'échéance t au taux r. On appelle cette stratégie un put synthétique


Mais aussi :

▪ S = C - P + K . e^{- r.t}

On peut répliquer la valeur d'un titre en plaçant un montant qui vaudra K au terme de t années au taux d'intérêt r, achetant 1 call de strike K et en vendant à découvert un put P de strike K, call et put ayant pour maturité t. Cette stratégie s'appelle un sous-jacent synthétique


Et enfin :

▪ K . e^{- r.t} = S - C + P

On peut répliquer le placement sans risque d'un montant qui vaudra à l'échéance pendant une période t en achetant le sous-jacent S en vendant un call C de strike K à découvert et en achetant un put P de strike K, call et put ayant pour maturité t. Cette stratégie s'appelle un placement monétaire synthétique ou placement sans risque synthétique


Ces stratégies peuvent servir à optimiser la trésorerie par exemple, mais aussi le risk management. Par exemple des options largement "dans la monnaie" (DITM) sont parfois non cotées par les market-makers. En passant par les "synthétiques", on peut recréer l'option qui nous convient et qui ne serait pas négociable sur le marché.


III - S'il y a des dividendes

S'il y a des dividendes qui sont versés par S pendant la durée de vie de l'option, on peut par simplification :

▪ remplacer dans tout ce qui a été dit avant S par Se^-qT si le dividende peut être supposé continûment versé sur la période de vie de l'option
▪ remplacer S par S - d ou d correspond à la valeur actuelle du versement des dividendes. C'est cette méthode qui reste la plus précise et qui est effectivement utilisée par les market-makers pour évaluer leurs options.



A retenir :

C - P = S - K . exp(- r . t)



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