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Gamma hedging : principes fondamentaux

Publié le 22 Mars 2014 par Strategies Options
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Être "delta-hedgé" parfois ne suffit pas...

Le delta d'une option varie en fonction de plusieurs paramètres et de plusieurs variables (temps, le cours du sous-jacent de l'option, la volatilité, ....). S'il est exacte que pour de petites variations du sous-jacent il correspond à un ratio de couverture, cette couverture en delta n'est pas toujours efficace, en particulier pour des positions short gamma, vendeuses d'options. Ces types de stratégies nécessitent en effet de vendre de plus en plus de sous-jacents quand les cours baissent et d'en acheter de plus en plus lorsqu'ils montent. On est toujours en retard lors de larges mouvements.

Afin d'éviter de réajuster le delta trop souvent, et donc de payer les frais de transactions mais aussi les spreads inhérents, un bon moyen est d'avoir le delta le plus stable possible. Avoir le delta le plus stable signifie pas ou peu de modification de sa valeur initiale, donc un "taux de variation du delta" nul - ie en langage "Options", gamma neutre.



I - Le principe

Le sous jacent n'est pas sensible à une variation du delta, son delta est constant et égale à 1 ou 100 %. Il faut donc intervenir sur une autre option pour ajuster le gamma.
Le principe de gamma hedging d’un portefeuille contenant au moins un option, est de trouver une autre option sur le marché, dans des proportions qui permettent de compenser le gamma de la position originelle.



II - Exemple

Deux options O1 et O2 sont cotées sur le marché dont les deltas sont respectivement :
1 = 0.47
2 = 0.23

les gammas sont respectivement :
Г1 = 0.15 titre
Г2 = 0.06 titre

Un portefeuille est composé de 47 titres et est vendeur short (à découvert) de 100 options O1. Le delta total du portefeuille est (47 x 1) - (100 x 0.47) = 47 - 47 = 0 , le portefeuille est delta neutre. On veut que le delta reste stable (dans l’exemple = 0)


▪ Problème :
- Si le sous-jacent monte assez, le delta ∆1 va augmenter et la position ne sera plus suffisamment couverte par l’achat des 47 titres. S’il gagne 1 euro, le delta ∆1 qui vaut 0.47 vaudra ∆1’ = ∆1 + Г1 = 0.47 + 0.15 = 0.62. Il faudra avoir alors en portefeuille 15 titres supplémentaires soit un total de 62 afin d’être delta neutre.
- Si le sous-jacent chute assez, le delta ∆1 va diminuer et la position sera trop couverte par l’achat des 47 titres. S’il perd 1 euro, le delta ∆1 qui vaut 0.47 vaudra ∆1’’ = ∆1 - Г1 = 0.47 - 0.15 = 0.32. Il faudra avoir alors en portefeuille 15 titres en moins soit un total de 32 afin d’être delta neutre.

On voit bien qu’il faut acheter lorsque le cours monte et vendre lorsque le cours baisse. Ce n’est pas facilement tenable.

Remarques préliminaires :

1 - Seul l’option O1 est sensible à la variation du delta, au gamma, les titres ne le sont pas.
2 - Il convient donc de se concentrer sur cette option et de limiter l’impact du gamma sur cette option.

La sensibilité du portefeuille au gamma est donc : - 100 x 0.15 = - 15 titres
Ce gamma est négatif, puisque les 100 options O1 sont vendues.



▪ Solution :
L’option O2 a un gamma deГ2 = 0.06 titre. Une baisse d’1 euro fait passer le delta de 0.23 à 0.17 titres, une hausse de 1 euro fait passer le delta de 0.23 à 0.29 titre.

On saisit immédiatement qu’il suffit d’acheter (100 x 0.15) / 0.06 = 250 options O2 pour neutraliser la sensibilité à une variation du delta du portefeuille.
Le portefeuille ainsi constitué sera donc composé de 47 titres vendeur à découvert de 100 options O1 et acheteur de 250 options O2.


D’une manière générale, il suffit
" d' acheter ( vendre ) pour chaque option O1 vendue ( achetée ), Г1 / Г2 options O2 "


Г1 est le gamma de l'option O1
Г2 est le gamma de l'option O2.
Le portefeuille est ainsi "localement" « gamma-hedgé ».


- Conséquence : le delta du portefeuille n’est plus neutre.
Il vaut 47 - (100 x 0.47) + (250 x 0.23) = + 57.5 titres. Pour qu’il reste neutre il faut donc revendre 57.5 titres (on arrondit à 57). Le portefeuille « delta-gamma hedgé » sera donc composé de la vente à découvert de 10 titres, de la vente à découvert de 100 options O1 et acheteur de 250 options O2.


III - Les limites

Le gamma est un ratio qui bouge avec le temps, avec le spot, avec la volatilité...Ce type de couverture n’est valable que pour un moment limité et pour un niveau de spot défini. Cela conduit naturellement à chercher encore une fois, d’autres moyen de se couvrir.

Livres Recommandés
Pricing et volatilité des options - Sheldon Natenberg
Options, futures et autres actifs dérivés 10e édition - John Hull

La suite :Gamma Hedging : Illustration
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