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Les Options Binaires

Publié le 29 Juin 2011 par Strategies-Options.com
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Les options binaires peuvent être évaluées dans le cadre du modèle de Black & Scholes

En fait, après un examen un peu plus poussé du comportement d’une option binaire, on peut vraisemblablement essayer de rapprocher le comportement de cette option avec celui d’options classiques.


En effet, une option binaire procure le résultat final, le payoff suivant :

→ si le spot est au dessus du strike, le payoff est 1
→ si le spot est au dessous du strike, le payoff est 0



I - Approximation à l’aide d’options classiques

Le premier résultat que l’on a vu c’est que cette option a un payoff maximal fini. Dans notre exemple on ne peut gagner plus de 1 avec cette binaire.

On peut facilement imaginer approximer cette option avec un spread d’options classiques.
En effet, si on trouve 2 calls par exemple avec des strikes K1 et K2 .
Si on achète un callspread K1 / K2 (on achète le call de strike K1/on vend le call de strike K2). On voit que si le spot est au dessus de K2 à l’échéance, on reçoit K2 - K1 avec ce call spread.
En revanche, si le spot termine sous K1, le call spread vaut 0.


Première approche

Un premier moyen serait d’espacer K1 et K2 les deux strike d’1 euro.
Ainsi si le spot est au dessus de K2 à l’échéance, on reçoit K2 - K1 = 1 avec ce call spread.
Et encore une fois, si le spot termine sous K1, le call spread vaut 0.
On se rapproche des options binaires.

Et si le spot finit entre K1 et K2 ?
C’est là que le bas blesse. Pas tout à fait.


On poursuit : Il suffit de prendre K1 et K2 les plus proches possibles.

▪ Si la différence entre les strikes est 0.1 euro, K1 = 99.9 et K2 = 100, il suffit d’acheter 10 callspreads 99.9 / 100 pour obtenir le résultat demandé.
Ainsi si le spot est au dessus de 100 à l’échéance, on reçoit 10 * ( 100 - 99.9 ) = 10*0.1 = 1 avec ce call spread.
Et encore une fois, si le spot termine sous 99.9, le call spread vaut 0.

▪ Si la différence entre les strikes est 0.01 euro, K1 = 99.99 et K2 = 100, il suffit d’acheter 100 callspreads 99.99 / 100 pour obtenir le résultat demandé.
Ainsi si le spot est au dessus de 100 à l’échéance, on reçoit 100 * ( 100 - 99.99 ) = 100*0.01 = 1 avec ce call spread.
Et encore une fois, si le spot termine sous 99.9, le call spread vaut 0.

On voit donc que, si on avait la possibilité de prendre le spread le plus petit possible de l’ordre de 0.00....001 s'il existait, on aurait une réplication quasi parfaite.

Au final on peut dire que la binaire vaut
10 * ( C( 100 - 0.1 ) - C( 100 ) ) = ( 1 / 0.1 ) * ( C( 100 -0.1 ) - C( 100 ) )
Ou plus précisément
100 * ( C( 100 - 0.01 ) - C( 100 ) ) = ( 1 / 0.01 ) * ( C(100 - 0.01 ) - C(100) )
Ou plus précisément
10000 * (C( 100 - 0.0001 ) - C(100)) = ( 1 / 0.0001 ) * ( C(100 - 0.0001 ) - C(100) )
….

Finalement

Où C est le call classique européen de strike K

La valeur du Call binaire est donc l’opposée de la dérivée du prix du call C standard par rapport au strike K.




II - Dans le modèle de Black & Scholes

On peut évaluer la valeur d’une option binaire dans le modèle de Black & Scholes. Il suffit de prendre la valeur de l’option et calculer la dérivée par rapport au strike K

Pour un call C on a :

Finalement





III - Call-put parité pour les options binaires

Acheter un call binaire et un put binaire de strike K de même échéance sur un actif donne un résultat certain à l’échéance, celui d’avoir 1.

Call Binaire + Put Binaire = 1

Avant l’échéance, il suffit d’actualiser le résultat (cf .fiche actualisation)

Call Binaire + Put Binaire = 1 . ( exp( - r .T ))

D'où Put Binaire = exp( - rT ) - Call Binaire
Put Binaire = exp( - rT ) - exp( - rt) . N(d2)
Put Binaire = exp( - rT ) . [ 1 - N(d2)]

Et comme 1 - N(d2) = N( - d2)

Put Binaire = exp( - rT) . [ N( -d2 ) ]

N(d1) et N(d2) ont souvent des comportements semblables. Voilà pourquoi la valeur d’une binaire est souvent très proche de celle du delta de l’option classique.




IV - Graphiquement cela donne:

Pour un Call Binaire


Pour un Put Binaire


Les payoffs ( 0 ou 1 ) sont atteints de manière progressive au fur et à mesure que le temps passe.
Graphiquement, on distingue la complémentarité / symétrie entre les deux valorisations - du call binaire et du put binaire issue de la call-put parité.


La suite : Equivalences Options Binaires-Options Classiques
Précédent : Les Options Binaires : Une Première Approche

Références :
Pour le détails de ce que sont d1, d2 et donc N(d2) et N(-d2), Black & Scholes : Une Première Approche
Pour un point sur l'actualisation, Actualisation : Un Principe Fondamental


Dans ce chapitre ...
Les Options Binaires Pour Les Nuls
Les Options Binaires : Une Première Approche
Les Options Binaires
Equivalences Options Binaires-Options Classiques
Options Binaires : Le Delta Pour Les Options Binaires
Options Binaires : Gammas Des Options Binaires
Options Binaires : Theta Des Options Binaires
Options Binaires : Vega Des Options Binaires


Dans cette section ...
Autres Dérivés Optionnels - INDEX
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Autres Dérivés Optionnels - CHAPITRE II
Autres Dérivés Optionnels - CHAPITRE III
Autres Dérivés Optionnels - CHAPITRE IV

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