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Equivalences entre les grecs

Publié le 26 Octobre 2010 par Strategies Options
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Dans le modèle de Black & Scholes, l'effet du temps est lié à celui de la volatilité, lui même lié à celui du sous-jacent.

I - Une première équation

■ Première approximation de la variation du prix d'une option - approximation du premier ordre.

On a vu ( cf : Black & Scholes : Le Delta ∆ ) que pour une petite variation du sous jacent S, la valeur d'une option varie tel que,

V(S1) - V(S0) ≈ ∂V(S0) / ∂S . (S1 - S0)

Si,
V(S1) est la valeur de l'option pour un niveau de sous-jacent S1
V(S0) est la valeur de l'option pour un niveau de sous-jacent S0


Ce que l'on peut écrire avec :
ΔS0 = ∂V(S0) / ∂S est le delta calculé pour un niveau de sous-jacent S = S0
dS = (S1 - S0) la variation du sous-jacent

V(S1) - V(S0) ≈ ΔS0 . dS

C'est ce qu'on appelle une approximation du premier ordre parce qu'elle fait intervenir le delta uniquement. Elle donne une idée, "en gros" de la variation du prix de l'option.



■ Seconde approximation de la variation du prix d'une option - approximation du second ordre.

On peut encore être plus précis en incorporant le gamma, un simple développement de Taylor à l'ordre de 2 de la valeur d'une option V conduit à :

V(S1) - V(S0) ≈ [ ∂V(S0) / ∂S . (S1 - S0) ] + 0.5 . ∂²V(S0) / ∂S² . (S1 - S0

Si on note ΓS0 le gamma calculé pour S = S0, on peut écrire :

V(S1) - V(S0) ≈ ΔS0 . dS + 0.5 . ΓS0 . (dS)²

Si dV est la variation de la valeur de l'option, dV = V(S1) - V(S0)
D'où,

dV ≈ ΔS0 . dS + 0.5 . ΓS0 . (dS)²

Soit en simplifiant la notation,

dV ≈ Δ . dS + 0.5 . Γ . (dS)²

C'est une bien meilleure approximation de la variation du prix de l'option, bien plus précise. On l'appelle du second ordre parce qu'elle fait intervenir cette fois en plus le gamma.


■ Troisième approximation de la variation du prix d'une option - approximation temporelle

Si on part du principe que le sous-jacent ne bouge pas par exemple, on sait ( cf : Black & Scholes : Le Theta θ ) que le temps a un impact sur la valeur de notre option.

Ce que l'on peut écrire :

dV / dt = Θ , il s'agit du Thêta

D'où,

dV = Θ . dt

"La variation du prix d'une option si le sous jacent ne bouge pas pendant un lapse de temps dt est thêta . dt "




Finalement si on rassemble ces 3 approximation pour en avoir une qui englobe toutes les informations on obtient :

dV = Δ . dS + 0.5 . Γ . (dS)² + Θ . dt




II - Un portefeuille Π "sans risque"

Si on construit un portefeuille Π avec une option V achetée et une position vendeuse à découvert de Δ sous-jacent,

On a : Π = V - ΔS

Pour une petite variation du spot, on obtient une variation du portefeuille Π

dΠ = dV - Δ . dS


Mais on sait ( on l'a vu plus haut ) que dV = Δ . dS + 0.5 . Γ . (dS)² + Θ . dt

D'où,
dΠ = Δ . dS + 0.5 . Γ . (dS)² + Θ . dt - Δ . dS

dΠ = 0.5 . Γ . (dS)² + Θ . dt


On sait aussi que,
dS = S . σ . √dt
(dS)² = (S . σ . √dt)² = S² . σ² . dt

Alors,
dΠ = 0.5 . Γ . (dS)² + Θ . dt = 0.5 . Γ . S² . σ² . dt + Θ . dt

dΠ = ( 0.5 . Γ . S² . σ² + Θ ) . dt

Ce portefeuille est parfaitement couvert (localement), il est donc sans risque (pendant une petite période et pour une petite variation du sous-jacent S). S'il est sans risque, il doit être rémunéré comme n'importe quel placement sans risque.

Si r est le taux d'intérêt sans risque, on peut écrire
dΠ = r . Π . dt
et,
dΠ = ( 0.5 . Γ . S² . σ² + Θ ) . dt

D'où
( 0.5 . Γ . S² . σ² + Θ ) = r . Π
( 0.5 . Γ . S² . σ² + Θ ) = r . ( V - Δ . S )
( 0.5 . Γ . S² . σ² + Θ ) = r . V - r . Δ . S


Si r <>0

V = Δ . S + ( 1 / r ) . ( 0.5 . Γ . S² . σ² + Θ )

Si r = 0

0.5 . Γ . S² σ² = - Θ

C'est la base du modèle de Black & Scholes.



Si on part du principe que le portefeuille Π = V - ΔS à une valeur de 1 €:

(0.5 . Γ . S² . σ² + Θ) = r

Or cette relation est d'une importance capitale pour qui veut "delta-hedger" un portefeuille.
En termes de trading, elle exprime qu'un portefeuille delta-hedgé rapporte le taux sans risque dans l'univers de Black & Scholes.


Bonus :
Elle lie en particulier le thêta et le gamma de l'option.

En gardant à l'esprit que thêta est négatif
si les taux d'intérêt sont fixes (r est constant)
▪ un grand gamma est compensé un grand thêta
▪ un grand thêta est toujours la résultante d'un grand gamma
de telle manière que la somme est toujours égale à r

En termes de trading cela signifie que si l'on vend une option avec un fort gamma, cela veut dire que cette option est susceptible de varier très rapidement en cas de mouvement du sous-jacent. Dans un sens, comme dans l'autre.

Le marché est cohérent :
Grand thêta - grande accélération de prise de valeur de l'option, petit thêta - petite accélération de prise de valeur de l'option.

Cette relation qui unit gamma et thêta est largement ignorée des vendeurs d'options compulsifs. Souvent à leur grande peine.




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