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Montant à investir en trading - Critère de Kelly Part 2

Publié le 06 Août 2014 par Kelly Criterion
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Optimiser ses investissements

On a vu dans la première partie sur le Kelly que "connaissant" les probabilités de gains et pertes d'une stratégie ainsi que les payoffs, les résultats financiers en cas de gain et de perte, on peut optimiser ses investissements.



I - Critère de Kelly appliqué à la gestion

Si on part du principe que le gain ou la perte est une variable aléatoire (pas forcément Normale ) Φ de moyenne µ et d'écart type σ, on peut écrire que la valeur de l'investissement après la réalisation d'un trade est :

M1 = M0 + M0 k Φ1

Avec

M0 le capital initial
M1 le capital final
k la fraction du capital initial investie
Φ1 une variable aléatoire de moyenne µ et d'écart type σ

Ce que l'on peut écrire :
M1 = M0( 1 + k Φ1 )

Après 2 trades successifs clôturés, on a :
M2 = M0( 1 + k Φ1 )( 1 + k Φ2 )

Après n trades successifs clôturés, on a :
Mn = M0( 1 + k Φ1 )( 1 + k Φ2 )...( 1 + k Φn )

Ce que l'on écrit
Mn = M0Πi=1n( 1 + k Φi )


On peut écrire
[M0Πi=1n( 1 + k Φi )] = [M0Πi=1n( 1 + k µ )]
i=1n( 1 + k Φi )] = [Πi=1n( 1 + k µ )]
Ln[Πi=1n( 1 + k Φi )] = Ln[Πi=1n( 1 + k µ )]
Ln[Πi=1n( 1 + k Φi )] = Ln[( 1 + k µ )n]

D'où,
nLn[( 1 + k µ )] = Ln[Πi=1n( 1 + k Φi )]

Ln[( 1 + k µ )] = ( 1 / n ) Ln[Πi=1n( 1 + k Φi )]


Si on part du principe que les Φi sont des variables aléatoires indépendantes,

E( Ln[( 1 + k µ )]) = E( ( 1 / n ) Ln[Πi=1n( 1 + k Φi )]) = ( 1 / n ) E( n Ln[( 1 + k Φi )]) = n( 1 / n ) E( Ln[( 1 + k Φi )])

E( Ln[( 1 + k µ )]) = E( Ln[( 1 + k Φi )])


Pour x petit, on peut développer en série de Taylor la fonction Ln( 1 + x ) et on obtient :

Ln ( 1 + x) ≈ x - (x²)/2 + (x3)/3 - (x4)/4 + ......

Donc pour k µ assez petit, on a :

E( Ln[( 1 + k Φi )]) = E( kΦi - (kΦi)²/2 + (kΦi)3/3 - (kΦi)4/4 + .... ])
E( Ln[( 1 + k Φi )]) ≈ E( kΦi - (kΦi)²/2 )


Si µ est petit, et par définition E(Φi) = µ, alors (kΦi)² ≈ (kσ)²
E( Ln[( 1 + k Φi )])≈ E( kµ - (kσ)²/2 )

E( kµ - (kσ)²/2 ) est maximisé pour k = µ / σ²

On a alors comme taux de croissance,

Taux de croissanceOptimal = (µ / σ²)µ - ((µ / σ²))²σ²/2
Taux de croissanceOptimal = µ² / σ² - µ² / 2σ²

Taux de croissanceOptimal = µ² / 2σ²


Si on souhaite une croissance optimale au sens de Kelly du capital, le montant Kelly à risquer sur un investissement dont la moyenne des rendements est µ et dont l'écart type est σ à partir d'un capital M0 est

Kelly = M0 ( µ / σ² )



Exemple 1 :
Si je souhaite optimiser le taux de croissance de mon capital sur le long terme en investissant dans une stratégie dont la volatilité du rendement est de 100% et qui rapporte en moyenne 10%, je dois investir à chaque trade k = µ / σ² = 10% / 1² = 10% du capital obtenu après chaque trade.

J'aurai un taux de croissance de :

taux de croissance = k x µ - (kσ)²/2 = (µ / σ²)x µ - [(µ / σ²) x σ ]² /2 = µ² / σ² - µ² / 2σ² = µ² / 2σ² = (10%)² / 2 = 0.5 %

Exemple 2 :
Un titre à une volatilité annualisée de 60% et une perspective de croissance selon une analyse de 5% cette année. Quelle part de mon portefeuille devrais-je y investir ?

Afin d’optimiser la croissance de mon portefeuille, je devrais y investir une fraction f telle que

f = 5% / (60%)² = 0.1388 ≈ 14%



II - Half Kelly / Twice Kelly


Les montants calculés dans le schéma de Kelly peuvent parfois apparaitre comme trop importants, même s'ils sont déjà le fruit d'une analyse rationnelle et non totalement le hasard.

▪ Half Kelly
Si au lieu de prendre les montants qui correspondent au critère de Kelly, on choisit d'en prendre la moitié, k1/2, on obient :

Taux de croissance = kµ - (kσ)²/2

k = 1/2 Kelly = µ / 2σ²

Taux de croissance 1/2 Kelly = [(µ / 2σ²) x µ] - [(µ / 2σ²)²x σ²/2] = µ² / 2σ² - µ² / 8σ² = 3 / 4 [µ² / 2σ² ]

Donc

Taux de croissance1/2 Kelly = 3 / 4 Taux de croissanceKelly

En divisant de moitié le montant à investir selon Kelly, on diminue le taux de croissance de 25%.


▪ Twice Kelly
En divisant le montant par trade issu de Kelly par 2, on a vu qu'il y avait une diminution du taux de croissance du portefeuille long terme de seulement 25%, ie on obtient 75% du taux de croissance Kelly.
Voyons ce que l'on obtient en doublant le montant.

On rappelle que pour une fraction k investie, Taux de croissance = kµ - (kσ)²/2

Si le Kelly est µ / σ², Twice Kelly vaut 2µ / σ²

On a alors,

Taux de croissance2Kelly = [2µ / σ² x µ] - (2µ / σ²)²σ²/2
Taux de croissance2Kelly = [2µ² / σ²] - (4µ²σ² / 2(σ²)²
Taux de croissance2Kelly = [2µ² / σ²] - (2µ² / σ²)

Taux de croissance2Kelly = 0

Même avec une stratégie qui donne des résultats positifs en moyenne, si le montant par trade est supérieur ou égale à deux fois le Kelly, le taux de croissance du capital sur le long terme est nul voire négatif


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