Montant à investir en trading - Critère de Kelly Part 2

On a vu dans la première partie sur le Kelly que "connaissant" les probabilités de gains et pertes d'une stratégie ainsi que les payoffs, les résultats financiers en cas de gain et de perte, on peut optimiser ses investissements.



I - Critère de Kelly appliqué à la gestion

Si on part du principe que le gain ou la perte est une variable aléatoire (pas forcément Normale ) Φ de moyenne µ et d'écart type σ, on peut écrire que la valeur de l'investissement après la réalisation d'un trade est :

M₁ = M₀ + M₀ k Φ₁

Avec

M₀ le capital initial
M₁ le capital final
k la fraction du capital initial investie
Φ₁ une variable aléatoire de moyenne µ et d'écart type σ

Ce que l'on peut écrire :
M₁ = M₀( 1 + k Φ₁ )

Après 2 trades successifs clôturés, on a :
M₂ = M₀( 1 + k Φ₁ )( 1 + k Φ₂ )

Après n trades successifs clôturés, on a :
M_n = M₀( 1 + k Φ₁ )( 1 + k Φ₂ )...( 1 + k Φ_n )

Ce que l'on écrit
M_n = M₀Π_i=1ⁿ( 1 + k Φ_i )


On peut écrire
[M₀Π_i=1ⁿ( 1 + k Φ_i )] = [M₀Π_i=1ⁿ( 1 + k µ )]
[Π_i=1ⁿ( 1 + k Φ_i )] = [Π_i=1ⁿ( 1 + k µ )]
Ln[Π_i=1ⁿ( 1 + k Φ_i )] = Ln[Π_i=1ⁿ( 1 + k µ )]
Ln[Π_i=1ⁿ( 1 + k Φ_i )] = Ln[( 1 + k µ )ⁿ]

D'où,
nLn[( 1 + k µ )] = Ln[Π_i=1ⁿ( 1 + k Φ_i )]

Ln[( 1 + k µ )] = ( 1 / n ) Ln[Π_i=1ⁿ( 1 + k Φ_i )]


Si on part du principe que les Φ_i sont des variables aléatoires indépendantes,

E( Ln[( 1 + k µ )]) = E( ( 1 / n ) Ln[Π_i=1ⁿ( 1 + k Φ_i )]) = ( 1 / n ) E( n Ln[( 1 + k Φ_i )]) = n( 1 / n ) E( Ln[( 1 + k Φ_i )])

E( Ln[( 1 + k µ )]) = E( Ln[( 1 + k Φ_i )])


Pour x petit, on peut développer en série de Taylor la fonction Ln( 1 + x ) et on obtient :

Ln ( 1 + x) ≈ x - (x²)/2 + (x³)/3 - (x⁴)/4 + ......

Donc pour k µ assez petit, on a :

E( Ln[( 1 + k Φ_i )]) = E( kΦ_i - (kΦ_i)²/2 + (kΦ_i)³/3 - (kΦ_i)⁴/4 + .... ])
E( Ln[( 1 + k Φ_i )]) ≈ E( kΦ_i - (kΦ_i)²/2 )


Si µ est petit, et par définition E(Φ_i) = µ, alors (kΦ_i)² ≈ (kσ)²
E( Ln[( 1 + k Φ_i )])≈ E( kµ - (kσ)²/2 )

E( kµ - (kσ)²/2 ) est maximisé pour k = µ / σ²

On a alors comme taux de croissance,

Taux de croissance_Optimal = (µ / σ²)µ - ((µ / σ²))²σ²/2
Taux de croissance_Optimal = µ² / σ² - µ² / 2σ²

Taux de croissance_Optimal = µ² / 2σ²


Si on souhaite une croissance optimale au sens de Kelly du capital, le montant K_elly à risquer sur un investissement dont la moyenne des rendements est µ et dont l'écart type est σ à partir d'un capital M₀ est

K_elly = M₀ ( µ / σ² )


Exemple 1 :
Si je souhaite optimiser le taux de croissance de mon capital sur le long terme en investissant dans une stratégie dont la volatilité du rendement est de 100% et qui rapporte en moyenne 10%, je dois investir à chaque trade k = µ / σ² = 10% / 1² = 10% du capital obtenu après chaque trade.

J'aurai un taux de croissance de :

taux de croissance = k x µ - (kσ)²/2 = (µ / σ²)x µ - [(µ / σ²) x σ ]² /2 = µ² / σ² - µ² / 2σ² = µ² / 2σ² = (10%)² / 2 = 0.5 %

Exemple 2 :
Un titre à une volatilité annualisée de 60% et une perspective de croissance selon une analyse de 5% cette année. Quelle part de mon portefeuille devrais-je y investir ?

Afin d’optimiser la croissance de mon portefeuille, je devrais y investir une fraction f telle que

f = 5% / (60%)² = 0.1388 ≈ 14%



II - Half Kelly / Twice Kelly

Les montants calculés dans le schéma de Kelly peuvent parfois apparaitre comme trop importants, même s'ils sont déjà le fruit d'une analyse rationnelle et non totalement le hasard.

▪ Half Kelly
Si au lieu de prendre les montants qui correspondent au critère de Kelly, on choisit d'en prendre la moitié, k_1/2, on obient :

Taux de croissance = kµ - (kσ)²/2

k = 1/2 Kelly = µ / 2σ²

Taux de croissance _{1/2 Kelly} = [(µ / 2σ²) x µ] - [(µ / 2σ²)²x σ²/2] = µ² / 2σ² - µ² / 8σ² = 3 / 4 [µ² / 2σ² ]

Donc

Taux de croissance_{1/2 Kelly} = 3 / 4 Taux de croissance_Kelly

En divisant de moitié le montant à investir selon Kelly, on diminue le taux de croissance de 25%.


▪ Twice Kelly
En divisant le montant par trade issu de Kelly par 2, on a vu qu'il y avait une diminution du taux de croissance du portefeuille long terme de seulement 25%, ie on obtient 75% du taux de croissance Kelly.
Voyons ce que l'on obtient en doublant le montant.

On rappelle que pour une fraction k investie, Taux de croissance = kµ - (kσ)²/2

Si le Kelly est µ / σ², Twice Kelly vaut 2µ / σ²

On a alors,

Taux de croissance_2Kelly = [2µ / σ² x µ] - (2µ / σ²)²σ²/2
Taux de croissance_2Kelly = [2µ² / σ²] - (4µ²σ² / 2(σ²)²
Taux de croissance_2Kelly = [2µ² / σ²] - (2µ² / σ²)

Taux de croissance_2Kelly = 0

Même avec une stratégie qui donne des résultats positifs en moyenne, si le montant par trade est supérieur ou égale à deux fois le Kelly, le taux de croissance du capital sur le long terme est nul voire négatif


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