On a vu dans la première partie sur le Kelly que "connaissant" les probabilités de gains et pertes d'une stratégie ainsi que les payoffs, les résultats financiers en cas de gain et de perte, on peut optimiser ses investissements.
I - Critère de Kelly appliqué à la gestion
Si on part du principe que le gain ou la perte est une variable aléatoire (pas forcément Normale ) Φ de moyenne µ et d'écart type σ, on peut écrire que la valeur de l'investissement après la réalisation d'un trade est :
M
1 = M
0 + M
0 k Φ
1
Avec
M
0 le capital initial
M
1 le capital final
k la fraction du capital initial investie
Φ
1 une variable aléatoire de moyenne µ et d'écart type σ
Ce que l'on peut écrire :
M
1 = M
0( 1 + k Φ
1 )
Après 2 trades successifs clôturés, on a :
M
2 = M
0( 1 + k Φ
1 )( 1 + k Φ
2 )
Après n trades successifs clôturés, on a :
M
n = M
0( 1 + k Φ
1 )( 1 + k Φ
2 )...( 1 + k Φ
n )
Ce que l'on écrit
M
n = M
0Π
i=1n( 1 + k Φ
i )
On peut écrire
[M
0Π
i=1n( 1 + k Φ
i )] = [M
0Π
i=1n( 1 + k µ )]
[Π
i=1n( 1 + k Φ
i )] = [Π
i=1n( 1 + k µ )]
Ln[Π
i=1n( 1 + k Φ
i )] = Ln[Π
i=1n( 1 + k µ )]
Ln[Π
i=1n( 1 + k Φ
i )] = Ln[( 1 + k µ )
n]
D'où,
nLn[( 1 + k µ )] = Ln[Π
i=1n( 1 + k Φ
i )]
Ln[( 1 + k µ )] = ( 1 / n ) Ln[Πi=1n( 1 + k Φi )]
Si on part du principe que les Φ
i sont des variables aléatoires indépendantes,
E( Ln[( 1 + k µ )]) = E( ( 1 / n ) Ln[Π
i=1n( 1 + k Φ
i )]) = ( 1 / n ) E( n Ln[( 1 + k Φ
i )]) = n( 1 / n ) E( Ln[( 1 + k Φ
i )])
E( Ln[( 1 + k µ )]) = E( Ln[( 1 + k Φi )])
Pour x petit, on peut développer en série de Taylor la fonction Ln( 1 + x ) et on obtient :
Ln ( 1 + x) ≈ x - (x²)/2 + (x
3)/3 - (x
4)/4 + ......
Donc pour k µ assez petit, on a :
E( Ln[( 1 + k Φ
i )]) = E( kΦ
i - (kΦ
i)²/2 + (kΦ
i)
3/3 - (kΦ
i)
4/4 + .... ])
E( Ln[( 1 + k Φ
i )]) ≈ E( kΦ
i - (kΦ
i)²/2 )
Si µ est petit, et par définition E(Φ
i) = µ, alors (kΦ
i)² ≈ (kσ)²
E( Ln[( 1 + k Φ
i )])≈ E( kµ - (kσ)²/2 )
E( kµ - (kσ)²/2 ) est maximisé pour
k = µ / σ²
On a alors comme taux de croissance,
Taux de croissance
Optimal = (µ / σ²)µ - ((µ / σ²))²σ²/2
Taux de croissance
Optimal = µ² / σ² - µ² / 2σ²
Taux de croissanceOptimal = µ² / 2σ²
Si on souhaite une croissance optimale au sens de Kelly du capital, le montant Kelly à risquer sur un investissement dont la moyenne des rendements est µ et dont l'écart type est σ à partir d'un capital M0 est
Kelly = M0 ( µ / σ² )
Exemple 1 :
Si je souhaite optimiser le taux de croissance de mon capital sur le long terme en investissant dans une stratégie dont la volatilité du rendement est de 100% et qui rapporte en moyenne 10%, je dois investir à chaque trade k = µ / σ² = 10% / 1² = 10% du capital obtenu après chaque trade.
J'aurai un taux de croissance de :
taux de croissance = k x µ - (kσ)²/2 = (µ / σ²)x µ - [(µ / σ²) x σ ]² /2 = µ² / σ² - µ² / 2σ² = µ² / 2σ² = (10%)² / 2 = 0.5 %
Exemple 2 :
Un titre à une volatilité annualisée de 60% et une perspective de croissance selon une analyse de 5% cette année. Quelle part de mon portefeuille devrais-je y investir ?
Afin d’optimiser la croissance de mon portefeuille, je devrais y investir une fraction f telle que
f = 5% / (60%)² = 0.1388 ≈ 14%
II - Half Kelly / Twice Kelly
Les montants calculés dans le schéma de Kelly peuvent parfois apparaitre comme trop importants, même s'ils sont déjà le fruit d'une analyse rationnelle et non totalement le hasard.
▪ Half Kelly
Si au lieu de prendre les montants qui correspondent au critère de Kelly, on choisit d'en prendre la moitié, k
1/2, on obient :
Taux de croissance = kµ - (kσ)²/2
k = 1/2 Kelly = µ / 2σ²
Taux de croissance
1/2 Kelly = [(µ / 2σ²) x µ] - [(µ / 2σ²)²x σ²/2] = µ² / 2σ² - µ² / 8σ² = 3 / 4 [µ² / 2σ² ]
Donc
Taux de croissance1/2 Kelly = 3 / 4 Taux de croissanceKelly
En divisant de moitié le montant à investir selon Kelly, on diminue le taux de croissance de 25%.
▪ Twice Kelly
En divisant le montant par trade issu de Kelly par 2, on a vu qu'il y avait une diminution du taux de croissance du portefeuille long terme de seulement 25%, ie on obtient 75% du taux de croissance Kelly.
Voyons ce que l'on obtient en doublant le montant.
On rappelle que pour une fraction k investie, Taux de croissance = kµ - (kσ)²/2
Si le Kelly est µ / σ², Twice Kelly vaut 2µ / σ²
On a alors,
Taux de croissance
2Kelly = [2µ / σ² x µ] - (2µ / σ²)²σ²/2
Taux de croissance
2Kelly = [2µ² / σ²] - (4µ²σ² / 2(σ²)²
Taux de croissance
2Kelly = [2µ² / σ²] - (2µ² / σ²)
Taux de croissance2Kelly = 0
Même avec une stratégie qui donne des résultats positifs en moyenne, si le montant par trade est supérieur ou égale à deux fois le Kelly, le taux de croissance du capital sur le long terme est nul voire négatif
Dans ce chapitre ...
Les Options Pour Les Nuls
Les Options Pour Les Nuls (suite)
Définition Simple D'une Option
Prix D'exercice De L'option
Trading Option - Quel Strike Choisir ?
Maturité De L'option
Montant à Investir En Trading - Critère De Kelly Part 1
Montant à Investir En Trading - Critère De Kelly Part 2 Kelly Criterion