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Interprétation de N(d1) dans le modèle de Black-Scholes

Publié le 10 Juillet 2014 par Morgane Tramasaygues
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Que signifie N(d1) dans le modèle Black & Scholes ?

On avait vu précédemment ( cf Interprétation De N(d2) Dans Le Modèle De Black-Scholes ) ce que signifiait le nombre N(d2) : la probabilité "risque neutre" que l'option soit dans la monnaie à l'échéance. Cette fois il s'agit d'expliciter un peu plus N(d1).


I - Intuition derrière le prix d'une option

Si on achète un call c'est pour gagner la différence entre le prix future du sous-jacent et le prix d'exercice.

Si on part du principe simple que le Prix D'exercice De L'option (ou strike) est K, on achète un call parce qu'on pense que le sous-jacent qui vaut aujourd'hui S0 vaudra ST à l'échéance et que ST sera supérieur au strike K. On achète un call pour qu'il ait de la valeur à l'échéance ! On achète un call strike 100 parce qu'on pense que le sous-jacent vaudra plus de 100 à l'échéance.


On peut montrer que la valeur d'un call peut s'écrire alors :

Call = Valeur actuelle de l'espérance de gain que l'on peut réaliser si ST est supérieur à K (sous une certaine probabilité, on y reviendra) à la date T.

Ce que l'on écrit,

Call = e-rTE [ Profit du Call si ST > K et 0 sinon ]

Où e-rT est le facteur d'actualisation au taux continu r pour la durée T , et Profit du Call si ST > K = ( Valeur espérée que devrait avoir ST si ST > K à l'échéance T sinon ST = K) - ( K le prix d'exercice )

Si on note ST si S>K la Valeur moyenne que devrait avoir ST si ST > K à l'échéance T, on obtient :

Profit du Call si ST > K = ( ST si S>K et K sinon ) - ( K le prix d'exercice )


L'espérance de Profit du Call si ST > K est alors la valeur du profit sur le Call multiplié par la probabilité de faire ce profit. Et la probabilité de faire ce profit, c'est celle que St >K.

E[ Profit du Call si ST > K ] = P (St >K) x Profit du Call si ST > K et 0 sinon
E[ Profit du Call si ST > K ] = P (St >K) x [ST si S>K - K ]0+

On obtient finalement :

Call = e-rT[P (St >K) x (ST si S>K - K)0+ ]

..."La valeur du call est la valeur présente de la probabilité de hausse de ST au delà de K multipliée par le gain espéré en cas de hausse au delà de K"....

D'où, en séparant l'expression en deux :

Call = e-rT[P (St >K) x ST si S>K] - e-rT[P (St >K) x K ]


Si on note l'espérance du cours du sous-jacent ST (si ST>K)

E[ ST si S>K] =[P (St >K) x ST si S>K]

Alors,

Call = e-rTE[ST si S>K] - e-rT[P (St >K) x K ]




II - Transcription dans le modèle Black Scholes

Bien évidemment, après quelques temps on sait rapidement que N(d1) dans le modèle de Black Scholes représente Le Delta ∆ du call (lorsqu'il n'y a pas de dividende/revenu sur S).
On connait déjà P (St >K) via Interprétation De N(d2) Dans Le Modèle De Black-Scholes,

P (St >K) = N(d2)

Cette probabilité n'est pas la probabilité "réelle", mais la probabilité risque neutre, celle qui a été calculée en partant du principe que l'espérance de rendement de St est r, le taux sans risque.

On peut donc écrire que dans le modèle Black Scholes,

Call = e-rTx E[ ST si S>K] - e-rT[ N(d2) x K ]

▪ e-rTx E[ ST si S>K] est la valeur présente de l'espérance de ST si S>K

▪ e-rT[ N(d2) x K ] est la valeur présente de l'espérance d'avoir à décaisser le montant K, ie que l'option soit exercée.




..."- Ah ouais, mais euh..... le rapport avec N(d1) ??? "...



Dans le modèle Black Scholes, on part du principe que le sous-jacent suit un processus tel que :

(dS) / S = rdt + σdZ

Avec (dZ)² = 1 et Z un processus de Wiener et l'espérance de ST est E[ST]=S0erT

On a donc :

dLn(St) = (r – σ²/2)dt + σdZ

Et,
Ln(St/S0) = (r – σ²/2)t + σ√tZ

Finalement,

St = S0 e(r – σ²/2)t + σ√tZ


Alors :



Donc on peut écrire

Call = e-rTx [ S0erTN(d1)] - e-rT[ N(d2) x K ]
Call = [ S0N(d1)] - e-rT[ N(d2) x K ]
Ce qui est la formulation du call dans Black Scholes.

Avec E[ ST si S>K] = S0erTN(d1) cela donne,

N(d1) = E[ ST si S>K] / E [ST]


N(d1) est donc le rapport entre l'espérance de ST en cas de hausse au delà de K et l'espérance de ST (sous une certaine probabilité, neutre au risque)

Bien évidemment, en terme de trading, N(d1) reste associé avec Le Delta ∆ du Call dans le modèle de Black & Scholes, mais on peut aussi utiliser cette donnée pour extraire la valeur moyenne anticipée de ST dans le modèle en cas dépassement de K par ST.



III - Objectif risque neutre en cas de dépassement de K

Un peu plus haut on a vu qu'on pouvait écrire la valeur d'un call de deux façons :

▪ Call = [ S0N(d1)] - e-rTN(d2) x K ]
▪ Call = e-rT[P (St >K) x ST si S>K] - e-rT[P (St >K) x K ]

La seconde expression peut s'écrire :
▪ Call = e-rT[N(d2) x ST si S>K] - e-rT[ N(d2) x K ]

On peut identifier alors :
S0N(d1) = e-rT[N(d2) x ST si S>K]

D'où si on note l'objectif risque neutre en cas de dépassement de K (ie l'espérance de S si K est dépassé avec un drift égale au taux sans risque) ST si S>K

ST si S>K = [S0N(d1)] / [e-rTN(d2)]


Par exemple un call 100 1 an avec une volatilité de 30% avec un sous-jacent qui vaut 100 aussi, 5% de taux d'intérêt continu vaut 14.23

N(d1) = 0.6242
N(d2) = 0.5066

On a bien C = (100 x 0.6242) - (100 x 0.5066 x e(-0.05 x 1)) = 62.42 - 48.19 = 14.23

Pour cette option, Black Scholes "prévoit " que si le sous-jacent termine au delà du prix d'exercice, on peut s'attendre à ce qui soit égale à :

ST si S>K = [S0N(d1)] / [e-rTN(d2)]
ST si S>K = (100 x 0.6242) / (e(-0.05 x 1) x 0.5066 ) = 62.42 / 0.4819 = 129.52

On retrouve bien,

Call = e-rT[P (St >K) x (ST si S>K - K) ]
Call = e-0.05x1[0.5066 x (129.52 - 100) ] = 0.9512 x 0.5066 x 29.52 = 14.23

On va voir par la suite qu'on peut encore aller un peu plus loin pour comprendre N(d1).

Interprétation de N(d1) et N(d2) dans la formule de BS : On en a parlé sur le Forum !



Précédent : Interprétation De N(d2) Dans Le Modèle De Black-Scholes

Article en relation avec celui-ci :
Black & Scholes : Le Modèle, Présentation Et Solution ( Part 1 )
Black & Scholes : Le Modèle, Présentation Et Solution ( Part 2 )
Black & Scholes : Le Delta ∆

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