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Montant à investir en trading - Critère de Kelly Part 1

Publié le 23 Juillet 2014 par Maw
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Quelle part de son capital doit-on investir pour une allocation optimal ? Le "Kelly" propose une réponse.

Les joueurs de poker et les traders partagent de nombreuses similitudes, en particulier ils ne connaissent pas avec certitude la manière dont leurs investissements vont se comporter. Ils sont confrontés à l'obligation d'imaginer le résultat financier en terme de probabilités.

A partir du moment où on ne sait pas exactement comment va se comporter le marché, il parait opportun de se poser la question : quelle mise, quelle proportion de mon capital devrais-je investir afin de maximiser le couple rendement-risque.



I - "Rationale" derrière un investissement simple

Le bon sens veut que nous investissions pour gagner plus que ce qu'on est prêt à perdre.
En d'autres termes, le profit espéré doit être supérieur à la perte anticipée dans le cas cas où les choses tourneraient mal.

On peut donc écrire :

Espérance de gain > Espérance de perte
E[Gain] > E[Perte]

Traduit en termes "mathématiques" (l'espérance est la somme des couples résultat possible x probabilité qu'il se réalise) , on obtient :

Gain Possible x Probabilité de Gain > Perte Possible x Probabilité de Perte

Exemple : On peut rationellement miser 10000 fois 1 avec la perspective qu'une fois sur 10000 on gagne 20000. L'espérance de gain est 20000 x (1/10000) = 2 et l'espérance de perte est 1 x 9999 / 10000 ≈ 1

On a bien E[Gain] > E[Perte]



II - Choix d'investissement - Cas d'une probabilité connue

Si on connait la probabilité p d'un résultat on peut donc écrire :

p : Probabilité de gagner
1 - p : Probabilité de perdre

▪ Si dans le cas cas d'une perte, l'investissement diminue d'un facteur Loss (on passe de d'un montant M à un montant M x ( 1 - Loss ), Loss > 0). La perte serait M x Loss
▪ Si dans le cas cas d'un gain, l'investissement s’accroît d'un facteur Profit (on passe de d'un montant M à un montant M x ( 1 + Profit ), Profit > 0). Le gain serait M x Profit


Alors on ne doit investir que si :

p x Profit x M > ( 1 - p ) x Loss x M
p x Profit > ( 1 - p ) x Loss
p / Loss > ( 1 - p ) / Profit
[ (p / Loss) - (1 - p ) / Profit ] > 0
[ p x Profit- (1 - p ) x Loss ] / ( Profit x Loss ) > 0

Puisque Profit > 0 et Loss > 0 par définition,

[ p( Profit + Loss) - Loss ] > 0

Soit finalement, un investissement envisageable selon Kelly si

p > Loss / ( Profit + Loss )



Exemple :

On pense qu'on a une opportunité de réaliser un trade qui a 5% de chance d'être gagnant ( p = 0.05), mais qu'en cas de gain on double la mise ( Profit = 100% = 1 ) et en cas de perte on ne perd que 10% du capital investi ( Loss = 0.1 )

Loss / ( Profit + Loss ) = 10% / ( 100% + 10%) = 10% / 110% = 9.09%

Le trade n'est pas envisageable selon Kelly, on a p = 5% < 9.09%

Bien sûr, les probabilités restent subjectives en matières d'investissements financiers, mais cela permet d'orienter le trading vers une diminution des montants mis en risque.



III - Montant à investir


Imaginons qu’un investisseur ait un capital M0 à la date T0.
Chaque fois qu’il trade, il décide d’y affecter une fraction f de son capital.
Lorsqu’il gagne, il gagne a % de f et lorsqu’il perd, il perd b % de cette fraction f.

Après un temps n où il y a eu u hausses de capital et d baisses de capital,
u + d = n ( le nombre de hausses + le nombre de baisses correspond au nombre total de trades n )
la valeur du capital de l’investisseur vaut :

Mn = M0 ( 1 + af) u( 1 - bf) d

▪ Taux de croissance.
Le taux de croissance final du capital est

Mn / M0 = ( 1 + af) u( 1 - bf) d

On aimerait trouver le taux de croissance continu µ, le nombre tel que pour n trades

Mn / M0 = (1 + µ/n)(1 + µ/n)......(1 + µ/n) = (1 + µ/n)n

O r on sait que lorsque n est grand, qu’il y a eu un nombre important de trades,

Lim n →∞ (1 + µ/n)n = eµ

D’où µ = Ln (Mn / M0)


▪ Taux de croissance moyen
Si on appelle le taux moyen de croissance du capital Gmoy(f), on a :

Gmoy(f) = µ / n = Ln(Mn / M0) / n

On obtient alors :

Gmoy(f) = Ln(Mn / M0) / n = 1/n Ln[ ( 1 + af) u( 1 - bf) d]
Gmoy(f) = u/n Ln( 1 + af) + d/nLn( 1 - bf)

Or si on note p la probabilité de gain et q la probabilité de perte,

p = u / n (c'est le nombre de hausses par rapport au total des trades)
q = d / n (c'est le nombre de baisses par rapport au total des trades)

Le taux de croissance moyen du capital est donc :

Gmoy(f) = p Ln( 1 + af) + qLn( 1 - bf)


Question : Comment choisir f la fraction de capital initial à mettre en risque, à investir, afin de maximiser le taux de croissance long terme µ du capital ?

Ce taux de croissance est maximisé lorsque ∂ Gmoy(f) / ∂f = 0
Or ∂ Gmoy(f) / ∂f = [pa / (1+af)] – [qb / (1-bf)]
∂ Gmoy(f) / ∂f = 0 si f = [p / b] – [q / a]
Gmoy(f) est maximal pour f = [p / b] – [q / a]

Si f = [p / b] – [q / a] alors
Gmoy(f) = p Ln( 1 + a([p / b] – [q / a])) + pLn( 1 – b([p / b] – [q / a])) = p Ln( ap/bq) + Ln((a+b)q/a)

La fraction fOptimale de capital à investir par trade afin de maximiser le taux de croissance après n trades est si on a p chances de gagner a% et q chances de perdre b% =

fOptimale = [p / b] – [q / a]

On obtient alors le taux de croissance de

Gmoy(fOptimale) = p Ln( ap / bq ) + Ln( (a+b)q / a )



Exemple :
On a un capital de 10000 €.
On prévoit de faire des trades qui ont des probabilités p de gains de 10% mais qui en cas de gain rapportent a =100% de la fraction f de capital investie et donc q = 1 – p = 90% de chance d’être perdants et de perdre b = 10% de la fraction de capital investie f.

On a donc
a = 100%
b = 10%
p = 10%
q = 1 – p = 90%

fOptimale = p Ln( ap/bq) + Ln((a+b)q/a) = 10% x Ln ( ( 100% x 10 % ) / ( 10% x 90%) + Ln (( 100% + 10% ) x 90% / 100% ) = 10%

Montant à investir = fOptimale x Capital = 10% x 10000 € = 1000 €

La fraction de capital à investir est donc 10% à chaque trade.
Le premier trade se fait donc sur 1000€
Le second sera de 10% du capital initial +/- le gain/la perte sur le premier trade.
Etc....


Cela donne un taux de croissance long terme du capital annualisé de Gmoy(10%) = p Ln( 1 + a x 10%) + qLn( 1 – b x 10%) = 10% x Ln ( 1 + 100% x 10%) + 90% x Ln ( 1 – 10% x 10%) = 0.0486%



Inversement, partant du principe qu’on a 50% de chance de gain et donc 50% de chance de perte,

fOptimale = [p / b] – [q / a] = ½ [ (1 / b) – ( 1 / a ) ] = ½ [ (a - b) / ab]

Avec 50% de chance de gain, la fraction de capital à investir est directement liée à la différence entre le facteur de gain et le facteur de baisse.

Le taux de croissance moyen Long terme est Gmoy( ½ [ (a - b) / ab] = ½Ln( a/b) + Ln( ½ (a + b) / a)
Défini pour b> 0


Exemple :
La hausse et la baisse sont équiprobables, d’où p(gain) = p (perte ) = 0.5

Imaginons que l'on ait une stratégie qui permette de quadrupler l'investissement par trade en cas de gain, et où on perd 90% du montant investi par trade en cas de perte (par exemple des trades sur des small caps, des options, ....).

a = 3 = 300%
b = 0.9 = 90%

On obtient
fOptimale = ½ [ (a - b) / ab] = 0.5 ( 3 - 0.9 ) / (3 x 0.9) = 0.389

On doit donc selon Kelly investir 38.9% du capital par trade successif.

Le taux de croissance moyen Long terme est Gmoy = ½Ln( a/b) + Ln( ½ (a + b) / a) = 17.12%


Critère de Kelly - Fraction optimal d'investissement du capital


A noter qu'"au sens de Kelly", si on investi plus de 2 fois le Kelly, c'est la ruine assurée.

Spreadsheet Excel Kelly sur le Forum !

La suite : Montant à Investir En Trading - Critère De Kelly Part 2

Dans ce chapitre ...
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Trading Option - Quel Strike Choisir ?
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Montant à Investir En Trading - Critère De Kelly Part 1
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Maw
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