Black & Scholes : une première approche

C'est probablement le modèle de finance le plus connu du monde et sa "simplicité" a fait qu'il a énormément contribué à la démocratisation des options auprès d'un large public.



I - Les hypothèses

Plus souvent utilisé en termes de modèle de cotation des options, il donne la valeur d’une option à partir des hypothèses suivantes :

1 - pas d’impôt
2 - pas de frais de transaction
3 - possibilité de vendre à découvert l’actif sous jacent
4 - la volatilité les taux d’intérêt sont constants (ou du moins déterministes)
5 - le marché du sous jacent est permanent (24h/24)



II - Les variables et paramètres

Il y a alors 2 variables et 5 paramètres qu’il suffit de connaitre afin de trouver la valeur d’un call et celle d’un put européen sur un actif :

Variables
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S

Paramètres
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r
Le taux de dividende / revenu continument composé q
La date d'échéance T
La volatilité du sous-jacent σ



III - Les valeurs

La valeur d'un call de maturité τ = T - t ,

C = exp ( - q.τ ) . S . N( d₁ ) - exp ( - r.τ ) . K . N( d₂ )

Avec
d₁ = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d₂ = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d₁ - ( σ√τ )
N(.) est la densité cumulée de la distribution Gaussienne, la loi Normale.
N( d₁ ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz,intégrale calculée entre –inf et d₁

De même, la valeur d'un put de maturité τ = T - t ,

P = - exp ( - q.τ ) . S . N( - d₁ ) + exp ( - r.τ ) . K . N( - d₂ )


Exemple :
S = 100, K = 100, r = 5%, σ = 30%, q = 0, T = 1 année

On obtient :
d₁ = [ Ln( 100 / 100 ) + ( ( 5% + 0.5.(30%)² ). 1 )] / ( 30%√1 ) = 0.316667
d₂ = [ Ln( 100 / 100 ) + ( ( 5% - 0.5.(30%)² ).1 )] / ( 30%√1 ) = 0.016667

N(d₁) = 0.624252
N(d₂) = 0.506649

C = exp ( - (0).(1) ) . 100 . 0.624252 - exp ( - 5%.(1) ) . 100 . 0.506649
C = 62.4252 - (0.9512).(100).(0.506649)
C = 62.4252 - 48.193918
C = 14.231255


N( - d₁) = 0.375748
N( - d₂) = 0.493351

P = - exp ( - (0).(1) ) . 100 . (0.375748) + exp ( - 5%.1 ) . 100 . (0.493351)
P = - 37.5748 + (0.9512).(100).(0.493351)
P = -375748 + 46.929024
P = 9.354197



IV - Représentation graphiques

Graphiquement en fonction du sous-jacent, on obtient

pour un call :



Et pour un put:




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