logo strategies-options Accès Site
 
panier
"Gérer, c'est prévoir"
Le site consacré aux stratégies de trading incorporant des produits dérivés, en particulier des options.
Accueil  >  Modèles d'évaluation d'options  >  Black & Scholes : une première approche 

Black & Scholes : une première approche

Publié le 08 Juillet 2011 par Strategies Options
icone rss


Le modèle de Black & Scholes (1973), parfois appelé Black Scholes Merton (BSM), est un modèle standard d’évaluation des options de type européen

C'est probablement le modèle de finance le plus connu du monde et sa "simplicité" a fait qu'il a énormément contribué à la démocratisation des options auprès d'un large public.



I - Les hypothèses

Plus souvent utilisé en termes de modèle de cotation des options, il donne la valeur d’une option à partir des hypothèses suivantes :

1 - pas d’impôt
2 - pas de frais de transaction
3 - possibilité de vendre à découvert l’actif sous jacent
4 - la volatilité les taux d’intérêt sont constants (ou du moins déterministes)
5 - le marché du sous jacent est permanent (24h/24)




II - Les variables et paramètres

Il y a alors 2 variables et 5 paramètres qu’il suffit de connaitre afin de trouver la valeur d’un call et celle d’un put européen sur un actif :

Variables
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S

Paramètres
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r
Le taux de dividende / revenu continument composé q
La date d'échéance T
La volatilité du sous-jacent σ



III - Les valeurs

La valeur d'un call de maturité τ = T - t ,

C = exp ( - q.τ ) . S . N( d1 ) - exp ( - r.τ ) . K . N( d2 )


Avec
d1 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d2 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d1 - ( σ√τ )
N(.) est la densité cumulée de la distribution Gaussienne, la loi Normale.
N( d1 ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz,intégrale calculée entre –inf et d1

De même, la valeur d'un put de maturité τ = T - t ,

P = - exp ( - q.τ ) . S . N( - d1 ) + exp ( - r.τ ) . K . N( - d2 )


Exemple :
S = 100, K = 100, r = 5%, σ = 30%, q = 0, T = 1 année

On obtient :
d1 = [ Ln( 100 / 100 ) + ( ( 5% + 0.5.(30%)² ). 1 )] / ( 30%√1 ) = 0.316667
d2 = [ Ln( 100 / 100 ) + ( ( 5% - 0.5.(30%)² ).1 )] / ( 30%√1 ) = 0.016667

N(d1) = 0.624252
N(d2) = 0.506649

C = exp ( - (0).(1) ) . 100 . 0.624252 - exp ( - 5%.(1) ) . 100 . 0.506649
C = 62.4252 - (0.9512).(100).(0.506649)
C = 62.4252 - 48.193918
C = 14.231255


N( - d1) = 0.375748
N( - d2) = 0.493351

P = - exp ( - (0).(1) ) . 100 . (0.375748) + exp ( - 5%.1 ) . 100 . (0.493351)
P = - 37.5748 + (0.9512).(100).(0.493351)
P = -375748 + 46.929024
P = 9.354197



IV - Représentation graphiques

Graphiquement en fonction du sous-jacent, on obtient

pour un call :



Et pour un put:




La suite : Black & Scholes : Le Modèle, Présentation Et Solution ( Part 1 )
ou
Black & Scholes: Les Grecs
Black & Scholes: On Price !

Précédent : Les Modèles : Besoin D'un Cadre Pour évaluer Les Produits Dérivés

Programmation modèle Black Scholes
Option Pricing - Black Scholes En C++
Option Pricing - Black Scholes En Java
Option Pricing - Black Scholes En Python

Strategies Options
D'autres Fiches
Crude Oil Options - 04-03-2012
- Les Stratégies Options sur Matières Premières -
Crude Oil Options - 04-03-2012
Gestion d'un portefeuille d'options sur futures crude oil.
Symétrie des Deltas des options
- Relations entre Sensibilités des Options -
Symétrie des Deltas des options
Après la «Call Put Parité» la «Call Put Symétrie» la «SuperSymétrie»....maintenant..... l'« Ultimate Symétrie ».
Strategies Options CAC 40 - Static Hedge - Suivi 1
- Brokers Options -
Strategies Options CAC 40 - Static Hedge - Suivi 1
Un premier point qui commence bien.
Le modèle binomial : une version simple pour les options européennes
- Modèles d'évaluation d'options -
Le modèle binomial : une version simple pour les options européennes
Le modèle binomial est un modèle très intuitif pour comprendre comment s'évalue la valeur d'une option.
Strategies Options CAC 40 - Static Hedge - Suivi 1
- Calculateur Online Volatilité Implicite -
Strategies Options CAC 40 - Static Hedge - Suivi 1
Un premier point qui commence bien.
Option Pricing - Black Scholes en Python
- Mes Achats -
Option Pricing - Black Scholes en Python
La programmation du modèle Black Scholes en Python est très facile