logo strategies-options Accès Site
 
panier
"Gérer, c'est prévoir"
Le site consacré aux stratégies de trading incorporant des produits dérivés, en particulier des options.
Accueil  >  Modèles d'évaluation d'options  >  Black & Scholes : une première approche 

Black & Scholes : une première approche

Publié le 08 Juillet 2011 par Strategies Options
icone rss


Le modèle de Black & Scholes (1973), parfois appelé Black Scholes Merton (BSM), est un modèle standard d’évaluation des options de type européen

C'est probablement le modèle de finance le plus connu du monde et sa "simplicité" a fait qu'il a énormément contribué à la démocratisation des options auprès d'un large public.



I - Les hypothèses

Plus souvent utilisé en termes de modèle de cotation des options, il donne la valeur d’une option à partir des hypothèses suivantes :

1 - pas d’impôt
2 - pas de frais de transaction
3 - possibilité de vendre à découvert l’actif sous jacent
4 - la volatilité les taux d’intérêt sont constants (ou du moins déterministes)
5 - le marché du sous jacent est permanent (24h/24)




II - Les variables et paramètres

Il y a alors 2 variables et 5 paramètres qu’il suffit de connaitre afin de trouver la valeur d’un call et celle d’un put européen sur un actif :

Variables
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S

Paramètres
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r
Le taux de dividende / revenu continument composé q
La date d'échéance T
La volatilité du sous-jacent σ



III - Les valeurs

La valeur d'un call de maturité τ = T - t ,

C = exp ( - q.τ ) . S . N( d1 ) - exp ( - r.τ ) . K . N( d2 )


Avec
d1 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d2 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d1 - ( σ√τ )
N(.) est la densité cumulée de la distribution Gaussienne, la loi Normale.
N( d1 ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz,intégrale calculée entre –inf et d1

De même, la valeur d'un put de maturité τ = T - t ,

P = - exp ( - q.τ ) . S . N( - d1 ) + exp ( - r.τ ) . K . N( - d2 )


Exemple :
S = 100, K = 100, r = 5%, σ = 30%, q = 0, T = 1 année

On obtient :
d1 = [ Ln( 100 / 100 ) + ( ( 5% + 0.5.(30%)² ). 1 )] / ( 30%√1 ) = 0.316667
d2 = [ Ln( 100 / 100 ) + ( ( 5% - 0.5.(30%)² ).1 )] / ( 30%√1 ) = 0.016667

N(d1) = 0.624252
N(d2) = 0.506649

C = exp ( - (0).(1) ) . 100 . 0.624252 - exp ( - 5%.(1) ) . 100 . 0.506649
C = 62.4252 - (0.9512).(100).(0.506649)
C = 62.4252 - 48.193918
C = 14.231255


N( - d1) = 0.375748
N( - d2) = 0.493351

P = - exp ( - (0).(1) ) . 100 . (0.375748) + exp ( - 5%.1 ) . 100 . (0.493351)
P = - 37.5748 + (0.9512).(100).(0.493351)
P = -375748 + 46.929024
P = 9.354197



IV - Représentation graphiques

Graphiquement en fonction du sous-jacent, on obtient

pour un call :



Et pour un put:




La suite : Black & Scholes : Le Modèle, Présentation Et Solution ( Part 1 )
ou
Black & Scholes: Les Grecs
Black & Scholes: On Price !

Précédent : Les Modèles : Besoin D'un Cadre Pour évaluer Les Produits Dérivés

Programmation modèle Black Scholes
Option Pricing - Black Scholes En C++
Option Pricing - Black Scholes En Java
Option Pricing - Black Scholes En Python

Taux Negatif Et Trading

Strategies Options
D'autres Fiches
Le modèle binomial : version détaillée
- Modèles d'évaluation d'options -
Le modèle binomial : version détaillée
Le modèle binomial peut se présenter sous forme d'arbre. Il est alors beaucoup plus riche d'informations.
Les stability warrants : une première approche
- Warrants, Turbos, Options Binaires -
Les stability warrants : une première approche
Les stability warrants sont des produits financiers émis par des banques, indexés sur le comportement d'un actif sous-jacent et qui remboursent un montant fixe si le cours du sous jacent reste entre deux bornes, une haute et une basse.
Strategie Options sur Devises - USDJPY ( Suivi 6 )
- Les Stratégies Options sur Forex -
Strategie Options sur Devises - USDJPY ( Suivi 6 )
Quelle vigueur cet USDJPY ! Notre P&L s'améliore du coup.
Volatilités implicites et corrélation implicite
- ABC des Options -
Volatilités implicites et corrélation implicite
Lorsque trois actifs sont liés par une relation de corrélation, on doit la retrouver dans le prix des volatilités implicites
Café dérivés
- Cafés Dérivés - Formation Pricing en Direct -
Café dérivés
Café dérivés est une session d'un groupe de 5 personnes maximum sur Skype ou Netviewer afin de travailler en profondeur un point technique précis sur les options pendant 1h.
Strategie Options sur Devises - USDJPY ( Suivi 5 )
- Les Stratégies Options sur Forex -
Strategie Options sur Devises - USDJPY ( Suivi 5 )
Et la hausse continue. Pas de grande variation du P&L pour le moment.