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 Black & Scholes : a first attempt
Issued on July 08 2011 par Strategies Options
This is 'the' standard option pricing model
Probably the most known formula in finance.
I - Some assumptions : 1- no tax 2- no transaction cost 3- underlying can be short sold 4- volatility and interest rates are known 5- the market is open 24/7 II - 2 variables and 5 parameters Variables t the starting date S the spot Parameters K the strike r continuously compounded annualized interest rate q continuously compounded annualized dividend rate T expiry (in years) σ the annualized volatility III - Pricing For a maturity of τ = T - t , C = exp ( - q.τ ) . S . N( d1 ) - exp ( - r.τ ) . K . N( d2) With d1 = [ Ln( S/K ) + ( ( r-q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) d2 = [ Ln( S/K ) + ( ( r-q - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d1 - ( σ√τ ) N(.) Cumulative Normal Denstity N( d1 ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz, derived between –inf and d1 It follows for the put, P = - exp ( - q.τ ) . S . N( - d1 ) + exp ( - r.τ ) . K . N( - d2 ) Example : S = 100, K = 100, r = 5%, σ = 30%, q = 0, T = 1 year d1 = [ Ln( 100 / 100 ) + ( ( 5% + 0.5.(30%)² ). 1 )] / ( 30%√1 ) = 0.316667 d2 = [ Ln( 100 / 100 ) + ( ( 5% - 0.5.(30%)² ).1 )] / ( 30%√1 ) = 0.016667 N(d1) = 0.624252 N(d2) = 0.506649 C = exp ( - (0).(1) ) . 100 . 0.624252 - exp ( - 5%.(1) ) . 100 . 0.506649 C = 62.4252 - (0.9512).(100).(0.506649) C = 62.4252 - 48.193918 C = 14.231255 N( - d1) = 0.375748 N( - d2) = 0.493351 P = - exp ( - (0).(1) ) . 100 . (0.375748) + exp ( - 5%.1 ) . 100 . (0.493351) P = - 37.5748 + (0.9512).(100).(0.493351) P = -375748 + 46.929024 P = 9.354197 IV - Graphs For a call:  For a put:  Next : Black & Scholes : A Standard Option Pricing Model ( Part 1 ) Black & Scholes: The Greeks Previous: Les Modèles : Besoin D'un Cadre Pour évaluer Les Produits Dérivés Pdf connexes : - Understanding N(d1) and N(d2) : Risk-Adjusted Probabilities in the Black-Scholes Model - Black-Scholes Option Pricing Model OPTIONS PRICING MODEL - INDEX OPTIONS PRICING MODEL - INDEX OPTIONS PRICING MODEL - CHAPTER I OPTIONS PRICING MODEL - CHAPTER II OPTIONS PRICING MODEL - CHAPTER III Strategies Options |
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