Symétrie des Deltas des options

L'"Ultimate Symmetry", est une relation particulière qui lie des options qui portent sur le même support et ayant des maturités identiques.
Elle est extrêmement intéressante du point de vue du trader.
En dépit d'être valable dans un cadre théorique - Black Scholes - où la volatilité implicite reste identique pour tous les prix d'exercice des options d'une même maturité, elle reste très utile en tant qu'approximation dans la réalité pour des traders qui souhaitent trouver les options qui correspondent aux risques qu'ils souhaitent couvrir.



I - Un monde « Flat Vol’ »

Si on suppose que tous les strikes d'une échéance donnée ont la même volatilité implicite (cela ne signifie pas que toutes les échéances ont même volatilité implicite pour tous les prix d'exercice), on peut trouver le strike du straddle (achat simultané d'un call et d'un put au même prix d'exercice) appelé K_{Delta Neutral Straddle}, on obtient :

K_{Delta Neutral Straddle} = S . exp(( r - q + 0.5.σ²).T)

Où
S spot
K strike (prix d'exercice)
r taux d'intérêt annualisé continûment composé
q taux de dividende annualisé continûment composé
T la maturité (en année(s))
σ la volatilité implicite

(Il s'agit du strike où le call et le put ont même delta en valeur absolue, où le vega est maximum (∂Vega /∂σ = 0 )).


Alors,

Pour tout call de prix d'exercice K_Call avec une maturité T il existe un put de prix d'exercice K_Put et ayant même maturité T dont le delta a même valeur - en valeur absolue - et dont le vega et le gamma sont identiques.

Le prix d'exercice de ce put est :

K_Put = (K_{Delta Neutral Straddle} )² / K_Call


Avec ce prix d'exercice on a :

- une symétrie des deltas : Δ_Put = - Δ_Call
Le delta d'un call ayant un prix d'exercice K a un delta qui est l'opposé exact d'un put ayant un prix d'exercice (K_{Delta Neutral Straddle)}² / K .

ΔC( S, K, r, q, σ, T ) = - ΔP( S, ( K_{Delta Neutral Straddle})²/K, r, q, σ, T )


- des gammas identiques : Γ_Put = Γ _Call
Le gamma d'un call de strike K est identique à celui d'un put de strike (K_{Delta Neutral Straddle})² / K .
Γ C( S, K, r, q, σ, T ) = Γ P( S, ( K_{Delta Neutral Straddle})²/K, r, q, σ, T )

- des vegas identiques : νega_Put = vega_Call
Le vega d'un call de strike K est identique à celui d'un put de strike (K_{Delta Neutral Straddle})² / K .
Vega C( S, K, r, q, σ, T ) = Vega P( S, ( K_{Delta Neutral Straddle})²/K, r, q, σ, T )

En mode chiffré...
Dans l'univers de Black Scholes, pour un sous-jacent quelconque qui vaut XXX euros, si le prix d'exercice qui correspond au delta neutre est 110 pour une maturité donnée, alors :

→ Si on détient 500 calls de prix d'exercice 179 on connait le prix d'exercice du put qui a le même delta en valeur absolue, ie (110)² / 179 = 67.59 (le put ayant le prix d'exercice de 67.59 a le même delta en valeur absolue que le call de prix d'exercice 179.
Ce put a en plus même gamma et même vega que le call 179.
Pour être naturellement delta neutre, il suffit d'en acheter 500.




Risk Reversal.
Si on connait le prix d'exercice "delta neutre" qui est par exemple le strike 110 pour une maturité donnée, on sait construire les Risk Reversals dont les gammas sont naturellement neutres et dont les vegas sont aussi naturellement neutres.

Par exemple en choississant le call 120, il suffit de vendre le put de prix d'exercice K_Put tel que K_Put = 110² / 120 = 100.83 et ayant même maturité.

Le même raisonnement conduit à la construction du vega weighted butterfly.



II - A Real World

Dans un monde "Flat vol' "tous les greeks vont matcher. Mais notre monde réel n'est pas "Flat Vol' ". Il y a souvent un skew / smile pour chaque maturité, et les calculs ne tombent pas forcément sur un prix d'exercice qui existe et sur lequel des options peuvent être négociées.
Pour autant, on peut appliquer la même technique comme bonne approximation, avec des greeks très proches de matcher la neutralité.




III - Derivations

Δ est le delta pour le strike K
Γ est le gamma pour le strike K
S le soujacent (spot)
K prix d'exercice
r taux d'intérêt annualisé continûment composé
q taux de dividende annualisé continûment composé
T la maturité (en année(s))
σ la volatilité implicite
N(x), la fonction de distribution cumulative ( Loi Normale)
n(x) la fonction de densité Normale standard

d1= ( ln(S/K) + (r-q + 0.5. σ²)T ) / σ√T




Delta Symétrie : Δ_Put = - Δ_Call

Pour K_Put = (K_{Delta Neutral Straddle} )² / K_Call

On a,

d1= (ln(S/K_Put) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S/(K²_{DeltaNeutralStraddle} / K_Call) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/K_Put) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S. K_Call /(K²_{DeltaNeutralStraddle}) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S//K_Put) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S. K_Call /( S . exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S//K_Put) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(K_Call /(S.(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S//K_Put) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(K_Call /(S) -ln(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S//K_Put) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(K_Call /(S) -2ln(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S//K_Put) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(K_Call /(S) -2( r-q + 0.5.σ²).T + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S//K_Put) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(K_Call /(S) -( r-q + 0.5.σ²).T) / σ√T

d1_Put= (ln(S//K_Put) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = - (ln(S / K_Call) +( r-q + 0.5.σ²).T / σ√T) = -d1_Call
d1_Put= -d1_Call Donc -d1_Put= d1_Call

N(-d1_Put) =N (d1_Call )
Exp(- qT).N(-d1_Put) = Exp(- qT).N (d1_Call )

Alors, -Δ_Put = Δ_Call



Gamma Parité : Γ _Put = Γ _Call

Si d1_Put= -d1_Call

Alors,

Puisque n(x) = 1/(√2π)exp(-x²) est une fonction paire
n(-d1_Put) = n (d1_Call )
Exp(- qT). n(-d1_Put) / ( S σ√T ) = Exp(- qT). n (d1_Call ) / ( S σ√T )

Et Γ_Put = Γ_Call


Vega Parité : νega _Put = vega_Call

Puisque vega = Γ . σ . S² . T

Si Γ_Put = Γ_Call

Alors, (σ . S² . T). Γ_Put = (σ . S² . T). Γ_Call
Et , νega_Put = vega_Call



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Morgane Tramasaygues