logo strategies-options Accès Site
 
panier
"Gérer, c'est prévoir"
Le site consacré aux stratégies de trading incorporant des produits dérivés, en particulier des options.
Accueil  >  Modèles d'évaluation d'options  >  Interprétation de N(d2) dans le modèle de Black-Scholes 

Interprétation de N(d2) dans le modèle de Black-Scholes

Publié le 31 Janvier 2013 par Morgane Tramasaygues
icone rss


Que signifie N(d2) dans le modèle Black & Scholes

Savoir calculer la valeur d'une option selon le modèle Black Scholes est très facile. Il est cependant nécessaire de comprendre ce que chaque terme de l'équation veut dire afin d'en saisir intuitivement la notion.



I - La formule de Black Scholes : cas du call.

On l'a déjà vu plusieurs fois, on peut exprimer la valeur d'un call de type européen comme suit :

C = exp( -q.T) . S . N(d1) - exp(-r.T) . K . N(d2)

Si on pose,
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r
Le taux de dividende / revenu continument composé q
La maturité T (en année)
La volatilité du sous-jacent σ

d1 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d2 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d1 - ( σ√τ )
N(.) est la densité cumulée de la distribution Gaussienne, la loi Normale.
N( d1 ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz,intégrale calculée entre –inf et d1



II - N(d2) une probabilité corrigée du risque du Call de finir dans la monnaie

Si on part du principe que le sous-jacent suit un mouvement Brownien géométrique tel que :

(dS) / S = μdt + σdZ

Avec,
Z un processus de Wiener
(dZ)² = 1

Si μ est le taux de croissance du sous-jacent, alors :

dLn(St) = (μ – σ²/2)dt + σdZ
Ln(St/S0) = (μ – σ²/2)t + σ√tZ

Si μ = r , la probabilité que St >K est P (St >K) telle que :

P (St >K) = P [ Ln(St) > Ln(K) ] = P [ Ln(St/ S0) > Ln(K/ S0) ]
P (St >K) = P [(r– σ²/2)t + σ√tZ > Ln(K/ S0) ]
P (St >K) = P [ σ√tZ > Ln(K/ S0) - (r– σ²/2)t ]
P (St >K) = P [ Z > ( Ln(K/ S0) - (r– σ²/2)t ) / σ√t]
P (St >K) = P [ Z > -( Ln(S0/K) - (r– σ²/2)t ) / σ√t]

Avec d2 = ( Ln(S0/K) - (r - σ²/2)t ) / σ√t on obtient :

P (St >K) = P [ Z > - d2 ] = P [ Z < d2 ] = N(d2)

P (St >K) = N(d2)

N(d2) est donc la probabilité "corrigée du risque" ( => µ = r ) que le sous jacent finisse à l'échéance au moins au niveau du strike, ie le call termine "In the Money".


Le prix d'un call est donc :
C = [ S . N(d1)] - [exp( -r.T) . K . Probabilité "risque neutre" que le call termine à l'échéance "ITM"].

Mais que signifie N(d1) ?

La suite : Interprétation De N(d1) Dans Le Modèle De Black-Scholes
Précédent : Options Forex - Modèle De Garman - Kohlhagen

D'autres Fiches
Equivalences entre les grecs
- Relations entre Sensibilités des Options -
Equivalences entre les grecs
Dans le modèle de Black & Scholes, l'effet du temps est lié à celui de la volatilité, lui même lié à celui du sous-jacent.
Options Binaires : gammas des options binaires
- Warrants, Turbos, Options Binaires -
Options Binaires : gammas des options binaires
Les gammas des options binaires peuvent s'exprimer simplement en fonction des grecs des options classiques.
CAC 40 : risk-reversal delta-hedge suivi 2
- Les Stratégies Options sur Actions et Indices -
CAC 40 : risk-reversal delta-hedge suivi 2
Le CAC 40 est resté finalement stable cette semaine, mais les décalages de l'indice restent "pricés" dans la volatilité implicite des options
Strategie Option cac40 - Suivi 1
- Les Stratégies Options sur Actions et Indices -
Strategie Option cac40 - Suivi 1
Butterfly sur le cac40
Les Warrants pour les Nuls
- Warrants, Turbos, Options Binaires -
Les Warrants pour les Nuls
Les warrants en version simplifiée.
Eur/USD: Suivi put spread (4)
- Les Stratégies Options sur Forex -
Eur/USD: Suivi put spread (4)
L'Eurodollar avait d'abord fléchi légèrement sous 1.30, ce qui avait valorisé le put spread