logo strategies-options Accès Site
 
panier
"Gérer, c'est prévoir"
Le site consacré aux stratégies de trading incorporant des produits dérivés, en particulier des options.
Accueil  >  Modèles d'évaluation d'options  >  Interprétation de N(d2) dans le modèle de Black-Scholes 

Interprétation de N(d2) dans le modèle de Black-Scholes

Publié le 31 Janvier 2013 par Morgane Tramasaygues
icone rss


Que signifie N(d2) dans le modèle Black & Scholes

Savoir calculer la valeur d'une option selon le modèle Black Scholes est très facile. Il est cependant nécessaire de comprendre ce que chaque terme de l'équation veut dire afin d'en saisir intuitivement la notion.



I - La formule de Black Scholes : cas du call.

On l'a déjà vu plusieurs fois, on peut exprimer la valeur d'un call de type européen comme suit :

C = exp( -q.T) . S . N(d1) - exp(-r.T) . K . N(d2)

Si on pose,
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r
Le taux de dividende / revenu continument composé q
La maturité T (en année)
La volatilité du sous-jacent σ

d1 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d2 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d1 - ( σ√τ )
N(.) est la densité cumulée de la distribution Gaussienne, la loi Normale.
N( d1 ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz,intégrale calculée entre –inf et d1



II - N(d2) une probabilité corrigée du risque du Call de finir dans la monnaie

Si on part du principe que le sous-jacent suit un mouvement Brownien géométrique tel que :

(dS) / S = μdt + σdZ

Avec,
Z un processus de Wiener
(dZ)² = 1

Si μ est le taux de croissance du sous-jacent, alors :

dLn(St) = (μ – σ²/2)dt + σdZ
Ln(St/S0) = (μ – σ²/2)t + σ√tZ

Si μ = r , la probabilité que St >K est P (St >K) telle que :

P (St >K) = P [ Ln(St) > Ln(K) ] = P [ Ln(St/ S0) > Ln(K/ S0) ]
P (St >K) = P [(r– σ²/2)t + σ√tZ > Ln(K/ S0) ]
P (St >K) = P [ σ√tZ > Ln(K/ S0) - (r– σ²/2)t ]
P (St >K) = P [ Z > ( Ln(K/ S0) - (r– σ²/2)t ) / σ√t]
P (St >K) = P [ Z > -( Ln(S0/K) - (r– σ²/2)t ) / σ√t]

Avec d2 = ( Ln(S0/K) - (r - σ²/2)t ) / σ√t on obtient :

P (St >K) = P [ Z > - d2 ] = P [ Z < d2 ] = N(d2)

P (St >K) = N(d2)

N(d2) est donc la probabilité "corrigée du risque" ( => µ = r ) que le sous jacent finisse à l'échéance au moins au niveau du strike, ie le call termine "In the Money".


Le prix d'un call est donc :
C = [ S . N(d1)] - [exp( -r.T) . K . Probabilité "risque neutre" que le call termine à l'échéance "ITM"].

Mais que signifie N(d1) ?

La suite : Interprétation De N(d1) Dans Le Modèle De Black-Scholes
Précédent : Options Forex - Modèle De Garman - Kohlhagen

D'autres Fiches
Interprétation de N(d2) dans le modèle de Black-Scholes
- Modèles d'évaluation d'options -
Interprétation de N(d2) dans le modèle de Black-Scholes
Que signifie N(d2) dans le modèle Black & Scholes
Ratio backspread sur le CAC 40 (suivi 11)
- Les Stratégies Options sur Actions et Indices -
Ratio backspread sur le CAC 40 (suivi 11)
+ 1983 euros sur le Ratio Backspread cette semaine. Le P&L se confirme
Surface de volatilité : une première approche
- ABC des Options -
Surface de volatilité : une première approche
La volatilité implicite varie pour différents strikes d'une même échéance, et même entre les échéances.
Smile de Volatilité
- ABC des Options -
Smile de Volatilité
A quoi est du le smile ? L'offre et la demande de volatilité implicite font qu'elle est parfois symétrique.
Les Ratio Backspreads
- Stratégies Options Avancées -
Les Ratio Backspreads
Les Ratio backspreads, une autre façon de profiter d'une stratégie options autofinancée.
Le butterfly spread : une première approche
- Stratégies Options Avancées -
Le butterfly spread : une première approche
Le butterfly spread est une stratégie "classique" avec les options, qui combine l'achat et la vente simultanée de trois options.