Interprétation de N(d2) dans le modèle de Black-Scholes

Savoir calculer la valeur d'une option selon le modèle Black Scholes est très facile. Il est cependant nécessaire de comprendre ce que chaque terme de l'équation veut dire afin d'en saisir intuitivement la notion.



I - La formule de Black Scholes : cas du call.

On l'a déjà vu plusieurs fois, on peut exprimer la valeur d'un call de type européen comme suit :

C = exp( -q.T) . S . N(d₁) - exp(-r.T) . K . N(d₂)

Si on pose,
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r
Le taux de dividende / revenu continument composé q
La maturité T (en année)
La volatilité du sous-jacent σ

d₁ = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d₂ = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d₁ - ( σ√τ )
N(.) est la densité cumulée de la distribution Gaussienne, la loi Normale.
N( d₁ ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz,intégrale calculée entre –inf et d₁



II - N(d₂) une probabilité corrigée du risque du Call de finir dans la monnaie

Si on part du principe que le sous-jacent suit un mouvement Brownien géométrique tel que :

(dS) / S = μdt + σdZ

Avec,
Z un processus de Wiener
(dZ)² = 1

Si μ est le taux de croissance du sous-jacent, alors :

dLn(S_t) = (μ – σ²/2)dt + σdZ
Ln(S_t/S₀) = (μ – σ²/2)t + σ√tZ

Si μ = r , la probabilité que S_t >K est P (S_t >K) telle que :

P (S_t >K) = P [ Ln(S_t) > Ln(K) ] = P [ Ln(S_t/ S₀) > Ln(K/ S₀) ]
P (S_t >K) = P [(r– σ²/2)t + σ√tZ > Ln(K/ S₀) ]
P (S_t >K) = P [ σ√tZ > Ln(K/ S₀) - (r– σ²/2)t ]
P (S_t >K) = P [ Z > ( Ln(K/ S₀) - (r– σ²/2)t ) / σ√t]
P (S_t >K) = P [ Z > -( Ln(S₀/K) - (r– σ²/2)t ) / σ√t]

Avec d₂ = ( Ln(S₀/K) - (r - σ²/2)t ) / σ√t on obtient :

P (S_t >K) = P [ Z > - d₂ ] = P [ Z < d₂ ] = N(d₂)

P (S_t >K) = N(d₂)

N(d₂) est donc la probabilité "corrigée du risque" ( => µ = r ) que le sous jacent finisse à l'échéance au moins au niveau du strike, ie le call termine "In the Money".


Le prix d'un call est donc :
C = [ S . N(d₁)] - [exp( -r.T) . K . Probabilité "risque neutre" que le call termine à l'échéance "ITM"].

Mais que signifie N(d₁) ?

La suite : Interprétation De N(d1) Dans Le Modèle De Black-Scholes
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Programmation modèle Black Scholes
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