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Calcul du VIX

Publié le 12 Avril 2012 par VIX
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Comment est calculé le VIX ?

"L'indice de la peur" a le vent en poupe. Partout, dès que les marchés s'affolent un peu, on nous sort assez rapidement un graphe avec l'indice VIX représenté, ou l'un de ses petits frères, VSTOXX, VCAC, ...

Souvent par manque de curiosité, on fait l'impasse sur la manière dont il est calculé.
L'une des plus importantes erreurs que l'on peut lire sur des forums, dans des journaux, etc... sur le VIX est de croire qu'il correspond à la volatilité implicite des options ATM "A la monnaie" sur le S&P500. Il n'existe pas d'option sur le SP500 cotée dont la volatilité correspond au VIX sauf par hasard, on va voir pourquoi par la suite.
La seconde est de se focaliser sur le fait que le VIX bouge de manière opposée à celle du SP500.



I - L'expression mathématique du VIX

Pour calculer le VIX, il nous faut prendre les deux prochaines series d'options arrivant à échéance. Cette contrainte vient du fait que le VIX doit garder une maturité constante de 30 jours.


Pour chaque échéance T1 et T2, on calcule d'abord deux variances σ1² et σ2²

σ1² = [ (2/T1 ).∑i[ ∆Ki / Ki² ].e(r .T1 ) . Mid Spread(Ki)[ Bid ;Ask ] - [ 1/ T1 ].[ (F1 / Ko) – 1 ]²]

σ2² = [ (2/T2 ).∑i[ ∆Ki / Ki² ].e(r .T2 ) . Mid Spread(Ki)[ Bid ;Ask ] - [ 1/ T2 ].[ (F2 / Ko) – 1 ]²]


où,

▪ T1 correspond à la maturité de l'échéance la plus proche des options sur le SP500, exprimée en année(s)
▪ T2 correspond à la maturité de la seconde échéance la plus proche des options sur le SP500, exprimée en année(s)
▪ K0 est le prix d'exercice de l'option le plus proche en dessous du niveau du contrat forward F ( ou contrat future)
▪ Ki est le prix d'exercice de l'option i
Mid Spread(Ki)[ Bid ;Ask] est le prix moyen entre bid et ask de l'option i
▪ ∆Ki l'intervalle entre deux prix d'exercice
▪ r est le taux d'intérêt "sans risque" continûment composé correspondant aux maturités T1 et T2
▪ Fi est le prix du contrat forward (contrat future échangé de gré à gré) sur S&P500 qui sera calculé pour une maturité ▪ Ti.
▪ ex est la fonction exponentielle pour la valeur x

On interpole les deux variances σ1² et σ2² sur 30 jours pour obtenir σvix²

σvix ² = [ T1 . σ1² . ( T2 - (30/365) ) / ( T2 - T1) ] + [ T2 . σ2² . ( (30/365) - T1 ) / ( T2 - T1)]



Et on obtient,

VIX = 100 .√ [(365 / 30) . σvix²]

Avec √x la fonction racine carrée de la valeur x


Le VIX n'est donc surtout pas la volatilité implicite d'options "à la monnaie" sur le S&P500. C'est une moyenne pondérée des prix de plusieurs séries d'options (afin de garder constamment une maturité de 30 jours). Il n'y a pas de calcul de volatilité implicite par un quelconque modèle ici (on n'inverse pas Black Scholes), mais via le prix des options sur le marché directement, et c'est un avantage.



II - Interprétation en finance quantitative du VIX

Le VIX est en fait le calcul de la variance (le carré de la volatilité) implicite moyenne d'options sur le S&P500 qui aurait en permanence 30 jours de maturité.
Cela correspond approximativement au "fair price" d'un (forward starting) swap de variance ayant 30 jours d'échéance.

Par construction, le fait que les options soient pondérées par l'inverse du carré des prix d'exercice implique une corrélation négative entre le VIX et l'indice SP500. Plus l'indice baisse, plus il est nécessaire d'intervenir sur des strikes plus bas, qui pondérés par l'inverse de leur carrés, participeront plus à la hausse du VIX (plus le strike Ki est petit, et plus ( 1 / Ki²) est grand de même que ∆Ki / Ki² ).


Références :
The CBOE Volatility Index - VIX -
Understanding VIX - Robert E.Whaley


La suite : Skew De Volatilité
Précédent : Le VIX - Indice De Volatilité

VIX
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