Call-put parité : taux et future

Lorsqu'on intervient sur des options sur des contrats futures, on peut très simplement retrouver le taux d'intérêt ainsi que le niveau du future grâce aux cotations des options uniquement. Cela peut se révéler très utile pour un calcul de volatilité implicite.



I - Retrouver Le Future...

On a vu que pour des options de type européen, on avait :

C - P = S - K . exp(- r . t)

où,
C est la valeur du Call
P est la valeur du Put
S est la valeur du Sous-jacent
K est la valeur du prix d'exercice
r est le taux sans risque continûment composé sur la période t
t la maturité des options
exp(x) est la fonction exponentielle pour le nombre x (par exemple en utilisant Excel, EXP(5) donne le résultat 148.4132 )

Si au lieu d'avoir le spot S, on avait le contrat future sur S de maturité t, on sait que

F = exp( r . t) . S

Ou encore, puisque [1 / exp(r.t)] = exp(-rt)

S = exp(- r . t) . F

On obtient donc :

C - P = S - K . exp(- r . t)
C - P = exp(- r . t) . F - K . exp(- r . t)
C - P = exp(- r . t) . ( F - K )

On a donc, pour un contrat future F et un strike K,

exp(- r . t) = (C - P) / (F - K)


Si on prend deux strikes différents, C₁ et P₁ le call et le put de strike K₁, C₂ et P₂ le call et le put de strike K₂,

exp(- r . t) = (C₁ - P₁) / (F - K₁) = (C₂ - P₂) / (F - K₂)

D'où,

(C₁ - P₁) / (F - K₁) = (C₂ - P₂) / (F - K₂)

Après réarrangement, on obtient :

F = [K₁ . (C₂ - P₂) - K₂ . (C₁ - P₁)] / [C₂ - P₂ - C₁ + P₁]



II - Obtenir le taux d'Intérêt:

Une fois que l'on a trouvé le future, le taux est assez simple. On prend un strike K

On a : exp(- r . t) = (C - P) / (F - K)
- r . t = Ln [(C - P) / (F - K)]

Avec Ln(x) la fonction logarithme népérien de la variable x.

Finalement,

r = - Ln [(C - P) / (F - K)] / t




III - S'il y a des dividendes:

S'il y a des dividendes ou des revenus, on sait que :

C - P = exp(- q . t) . S - K . exp(- r . t)

Avec q le taux de distribution continûment composé de dividende ou de revenu


On a alors,

C₁ - P₁ = exp(- q . t) . S - K₁ . exp(- r . t)
C₂ - P₂ = exp(- q . t) . S - K₂ . exp(- r . t)

D'où,
K₂ . [ C₁ - P₁ ] = K₂ .exp(- q . t) . S - K₂ . K₁ . exp(- r . t)
K₁ . [C₂ - P₂ ] = K₁ .exp(- q . t) . S - K₁ . K₂ . exp(- r . t)

En soustrayant les deux, il vient :

q = - Ln ( [K₂ . [C₁ - P₁ ] - K₁ . [C₂ - P₂ ]] / [ S . [ K₂ - K₁]] ) / T


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