Options Forex - Modèle de Garman - Kohlhagen

Le modèle de Garman Kohlhagen est une adaptation aux marchés des devises du modèle de Black Scholes.



I - Rappels sur le modèle de Black & Scholes

Il y a 2 variables et 5 paramètres :

Variables
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S

Paramètres
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r
Le taux de dividende composé q
La date d'échéance T
La volatilité du sous-jacent σ


La valeur d'un call de maturité τ = T - t ,
C = exp ( - q.τ ) . S . N( d₁ ) - exp ( - r.τ ) . K . N( d₂ )

Avec
d₁ = [ Ln( S/K ) + ( ( r-q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d₂ = [ Ln( S/K ) + ( ( r-q - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d₁ - ( σ√τ )

N(.) est la densité cumulée de la distribution Gaussienne, la loi Normale.

N( d₁ ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz, intégrale calculée entre –inf et d₁

De même, la valeur d'un put de maturité τ = T - t ,

P = - exp ( - q.τ ) . S . N( - d₁ ) + exp ( - r.τ ) . K . N( - d₂ )



II - Application au forex

Les devises détenues, en tant qu'actifs financiers, versent un revenu comme un dividende (le taux d'intérêt continûment composé de la devise achetée).
Les devises vendues à découvert, en tant qu'actifs financiers, coûtent un intéret comme un emprunt (le taux d'intérêt continûment composé de la devise vendue).
Par exemple, pour un call EUR/USD, le sous jacent est l'EUR/USD, il faut acheter l'EUR (et percevoir le taux d'intérêt EUR) et vendre à découvert le USD ( et donc emprunter des USD pour les vendre à découvert au taux USD).

En 1983 Garman et Kohlhagen expriment la valeur des options ainsi et le modèle devient donc :
Variables
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S

Paramètres
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r de la devise vendue
Le taux d'intérêt continûment composé rf de la devise achetée
La date d'échéance T
La volatilité du sous-jacent σ


La valeur d'un call de maturité τ = T - t ,
C = exp ( - rf.τ ) . S . N( d₁ ) - exp ( - r.τ ) . K . N( d₂ )

Avec
d₁ = [ Ln( S/K ) + ( ( r-rf + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d₂ = [ Ln( S/K ) + ( ( r-rf - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d₁ - ( σ√τ )

N(.) est la densité cumulée de la distribution Gaussienne, la loi Normale.

N( d₁ ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz, intégrale calculée entre –inf et d₁

De même, la valeur d'un put de maturité τ = T - t ,

P = - exp ( - rf.τ ) . S . N( - d₁ ) + exp ( - r.τ ) . K . N( - d₂ )



III - Exemple

Un call GBP / EUR strike 1.80 pour un spot à 1.60 (Il faut vendre 1.60 EUR pour acheter une GBP), un taux EUR de 8% un taux GBP de 11% 182.5 jours (on reçoit 11% et on paye 8% lorsqu'on est "long" GBP/EUR).

Ce call vaut 0.02136 EUR.



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Pdf connexes :
- Le modèle de Black–Scholes
- Black-Scholes Option Pricing Model


MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - INDEX
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE I
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE II
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE III

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