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Options Forex - Modèle de Garman - Kohlhagen

Publié le 22 Septembre 2011 par Calendarspread
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Les options sur le forex sont activement négociées. Garman Kohlhagen est le modèle d'évaluation de base.

Le modèle de Garman Kohlhagen est une adaptation aux marchés des devises du modèle de Black Scholes.



I - Rappels sur le modèle de Black & Scholes

Il y a 2 variables et 5 paramètres :

Variables
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S

Paramètres
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r
Le taux de dividende composé q
La date d'échéance T
La volatilité du sous-jacent σ


La valeur d'un call de maturité τ = T - t ,
C = exp ( - q.τ ) . S . N( d1 ) - exp ( - r.τ ) . K . N( d2 )

Avec
d1 = [ Ln( S/K ) + ( ( r-q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d2 = [ Ln( S/K ) + ( ( r-q - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d1 - ( σ√τ )

N(.) est la densité cumulée de la distribution Gaussienne, la loi Normale.

N( d1 ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz, intégrale calculée entre –inf et d1

De même, la valeur d'un put de maturité τ = T - t ,

P = - exp ( - q.τ ) . S . N( - d1 ) + exp ( - r.τ ) . K . N( - d2 )



II - Application au forex

Les devises détenues, en tant qu'actifs financiers, versent un revenu comme un dividende (le taux d'intérêt continûment composé de la devise achetée).
Les devises vendues à découvert, en tant qu'actifs financiers, coûtent un intéret comme un emprunt (le taux d'intérêt continûment composé de la devise vendue).
Par exemple, pour un call EUR/USD, le sous jacent est l'EUR/USD, il faut acheter l'EUR (et percevoir le taux d'intérêt EUR) et vendre à découvert le USD ( et donc emprunter des USD pour les vendre à découvert au taux USD).

En 1983 Garman et Kohlhagen expriment la valeur des options ainsi et le modèle devient donc :
Variables
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S

Paramètres
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r de la devise vendue
Le taux d'intérêt continûment composé rf de la devise achetée
La date d'échéance T
La volatilité du sous-jacent σ


La valeur d'un call de maturité τ = T - t ,
C = exp ( - rf.τ ) . S . N( d1 ) - exp ( - r.τ ) . K . N( d2 )

Avec
d1 = [ Ln( S/K ) + ( ( r-rf + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )
d2 = [ Ln( S/K ) + ( ( r-rf - 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ ) = d1 - ( σ√τ )

N(.) est la densité cumulée de la distribution Gaussienne, la loi Normale.

N( d1 ) = ∫ [ ((1 / ( √2п )) . exp( -z²/2 ) ] dz, intégrale calculée entre –inf et d1

De même, la valeur d'un put de maturité τ = T - t ,

P = - exp ( - rf.τ ) . S . N( - d1 ) + exp ( - r.τ ) . K . N( - d2 )



III - Exemple

Un call GBP / EUR strike 1.80 pour un spot à 1.60 (Il faut vendre 1.60 EUR pour acheter une GBP), un taux EUR de 8% un taux GBP de 11% 182.5 jours (on reçoit 11% et on paye 8% lorsqu'on est "long" GBP/EUR).

Ce call vaut 0.02136 EUR.



Précédent : Black & Scholes : Une Première Approche



Pdf connexes :

- Le modèle de Black–Scholes
- Black-Scholes Option Pricing Model


MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - INDEX
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE I
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE II
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE III

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