Actualisation : un principe fondamental #2

Comme dans l'industrie financière les intérêts sont payés et crédités sur une base journalière, l'utilisation des taux d'intérêt continus s'avère nécessaire. Et les divergences entre taux continu et taux simple ont un impact très fort sur le prix des actifs financiers.



I - Une Composition Continue

L’exemple ci dessus peut facilement s’adapter si l’échéance n’est pas 1 an.
En fait si l’échéance est dans n années au taux r la valeur aujourd'hui X' qui vaudra X dans n année(s) :

X' = X / { ( 1 + r ) . ( 1 + r )...( 1 + r ) }

Puisqu’encore une fois on peut placer ce montant pendant n années chaque année au taux r et ainsi avoir :

X' . { ( 1 + r ) . ( 1 + r )...( 1 + r ) }
[ X / { ( 1 + r ) . ( 1 + r )...( 1 + r ) } ] . { ( 1 + r ) . ( 1 + r )...( 1 + r ) } = X

Et comme on peut écrire,
[ ( 1 + r ) . ( 1 + r )...( 1 + r ) ] = ( 1 + r )ⁿ

Ainsi,

[ X / ( ( 1 + r )ⁿ ) ] . [ ( 1 + r ) ⁿ ] = X

Donc,

X' = X / ( ( 1 + r ) ⁿ )

Albert Einstein aurait d'ailleurs dit : "La force la plus puissante dans l’univers est celle de l’intérêt composé".




II - Effet de la Composition

Admettons que les taux d'intérêt soient proportionnels à leurs durées ,c’est à dire que le montant perçu sur 6 mois soit la moitié du taux à 1 an, que le montant perçu pendant 3 mois corresponde à la moitié de celui sur 6 mois...Intuitivement cela signifie que pour un placement pendant 6 mois à un taux d'intérêt annuel, on perçoit la moitié de ce que l’on aurait touché si on avait laissé l’argent placé 1 an.
On aurait alors sur une période d’1 an à placer 2 fois de suite sur 6 mois au taux (r/2) le montant X’ et ainsi

X = X' . [ ( 1 + (r/2) ) . ( 1 + (r/2 )) ]
X = X' . [ 1 + (r/2) ]²

Si au lieu de placer sur 6 mois on place 4 fois de suite à 3 mois on aurait

X = X' . [ ( 1 + (r/4) ) . ( 1 + (r/4 ) ) . ( 1 + (r/4) ) . ( 1 + (r/4 ) ) ]
X = X' . [ 1 + (r/4) ]⁴

Si au lieu de placer sur 3 mois on place au jour le jour, on a :

X = X' . [ ( 1 + (r/365) ) . ( 1 + (r/365 ) )..... ( 1 + (r/365) ) . ( 1 + (r/365 ) ) ]
X = X' . [ 1 + (r/365) ]³⁶⁵


NB
Or on sait que pour r petit (<1), on a :

Où exp(x) est la fonction exponentielle e ^x.

Donc, si on réinvestit chaque jour les intérêts on obtient sur 1 an :
X = X' . [ 1 + (r/365) ]³⁶⁵ ≈ X' . exp( r' ) = X' . e^r'

Avec r' le taux continu ( r' = Ln( 1 + r ) ).

Pour t année(s) on aurait non pas r' mais r' x t.
Cela nous donne quelque soit t année(s) :

X = X' . [ exp( r' x t ) ] = X' . e^{r' x t}


Il s’agit de la composition journalière du taux d'intérêt annuel. Cela aboutit à la notion de taux d'intérêt continu r'.
L’avantage de la calculer est qu’à partir de là, on peut avoir n’importe quelle durée de placement t exprimée en année(s), t (exprimé en année(s)) peut être supérieur ou inférieur à 1 ( 1 an ).



A retenir :
En finance, dès que l’on voit exp(rt), exp(-rt) on doit avoir le réflexe :

exp( r . t ) signifie "la valeur future du placement d’1 euro pendant t années au taux continûment composé r"

→ d’où, 10 . exp( 0.02 . 0.5 ) signifie la valeur future du placement de 10 euros au taux 0.02 (2%) pendant 0.5 année ( 6 mois)
→ et 18.53 . exp( 0.1 . 3.25 ) signifie la valeur future du placement de 18.53 euros au taux 0.1 (10%) pendant 3.25 année ( 3 ans et 4 mois)



De la même manière,
exp( - r t ) signifie "la valeur actuelle d’1 euro dans t années si r est le taux continûment composé pour la période".

→ d’où, 5 . exp( - 0.03 . 1 ) signifie la valeur actuelle de 5 euros dans 1 an si 0.03 (3%) est le taux pour la période
→ et, 10.28 . exp( - 0.0215 . 0.75 ) signifie la valeur actuelle de 10.28 euros dans 0.75 an (9 mois) si 0.0215 (2.15%) est le taux pour la période.

Les taux d'intérêt utilisés pour l'évaluation d'options sont des taux composés.




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