logo strategies-options Accès Site
 
panier
"Gérer, c'est prévoir"
Le site consacré aux stratégies de trading incorporant des produits dérivés, en particulier des options.
Accueil  >  Modèles d'évaluation d'options  >  Black & Scholes : le delta ∆ 

Black & Scholes : le delta ∆

Publié le 14 Juillet 2011 par Strategies-options.com
icone rss


Dans le modèle de Black & Scholes, l'expression du delta ∆ d'une option est défini comme la dérivée du prix de l'option par rapport au sous-jacent.

Dans le modèle de Black&Scholes on définit les deltas des calls et des puts comme la dérivée du prix d'une option par rapport au sous-jacent.

Si on pose,
La date d'évaluation t
Le niveau du sous jacent, son cours S
Le prix d'exercice K
Le taux d'intérêt continument composé r
Le taux de dividende / revenu continument composé q
La date d'échéance T
La volatilité du sous-jacent σ

Si on dit que le prix P d'une option est une fonction de t, S, K, r, q, T, σ
Alors on peut écrire que P = P(t, S, K, r, q, T, σ)
et,

Δ = ∂ P / ∂ S



I - Pour les calls

On a l'habitude décrire cela mathématiquement comme un taux variation pour des petits écarts du sous-jacent (dérivée partielle par rapport au sous-jacent S).

Si on pose τ = T - t la maturité restante à l'option

Δ = ∂ C / ∂ S
Δ = ∂ [exp ( - q.τ ) . S . N( d1 ) - exp ( - r.τ ) . K . N( d2 ) ] / ∂ S
Δ = exp ( - q.τ ) . N( d1 )

Avec
d1 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )

Pour une explication plus précise de ce que signifie N( d1 ) : Interprétation De N(d1) Dans Le Modèle De Black-Scholes

Graphiquement pour un call de strike 100, d'échéance 1 an cela donne :


Intuitivement, on savait que le delta d'un call variait de 0 à 1 ou 0% à 100%, un call peut soit varier au maximum comme le sous jacent lorsqu'il est vraiment dans la monnaie, soit pas du tout lorsqu'il est vraiment en dehors de la monnaie. Le graphe le confirme.

A noter qu'"à la monnaie" en l'absence de dividende, lorsque le sous-jacent est exactement au niveau du prix d'exercice, le delta du call est toujours > 0.5 ou 50%.




II - Pour les puts

Encore une fois, c'est l'écriture mathématique du taux de variation du prix du put par rapport à une petite variation du sous-jacent.

on pose τ = T - t

Δ = ∂ P / ∂ S
Δ = ∂ [ - exp ( - q.τ ) . S . N( - d1 ) + exp ( - r.τ ) . K . N( - d2 ) ] / ∂ S
Δ = - exp ( - q.τ ) . N( - d1 )
Δ = - exp ( - q.τ ) . [ - N( d1 ) + 1 ]
Δ = exp ( - q.τ ) . N( d1 ) - exp ( - q.τ )

Avec
d1 = [ Ln( S / K ) + ( ( r - q + 0.5σ² ).τ )] / ( σ√τ )


Graphiquement pour un put de strike 100, d'échéance 1 an cela donne : cela donne,


On savait que le delta d'un put variait de -1 à 0 ou -100% à 0%. Le graphe le confirme encore une fois.

A noter qu'"à la monnaie"en l'absence de dividende, lorsque le sous-jacent est exactement au niveau du prix d'exercice, le delta du put est toujours < 0.5 ou 50%.


A retenir:

Première approximation de la variation d'une option dans un laps de temps court (pour éliminer l'effet du temps sur la prime), on a:




"Pour de petites variations du sous-jacent, une option varie de Δ . (variation du sous-jacent)"

Si on regarde le cours du sous-jacent dans un ordre croissant :
■ Le delta d'un call varie de 0 à 100%
■ Le delta d'un put varie de -100% à 0.


La suite : Black & Scholes : Le Gamma
Précédent : Black & Scholes: Les Grecs


Pdf connexes :

- Le modèle de Black–Scholes
- Black-Scholes Option Pricing Model



MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - INDEX
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE I
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE II
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE III

Strategies-options.com
D'autres Fiches
Les turbos warrants : une première approche
- Warrants, Turbos, Options Binaires -
Les turbos warrants : une première approche
Les turbos ont connu un rapide succès auprès des professionnels d’abord puis récemment vis à vis des particuliers, parce qu'ils semblent plus simples à comprendre que les options classiques, et qu'ils coûtent moins cher.
Le straddle : Le Vega υ
- Stratégies Options Fondamentales -
Le straddle : Le Vega υ
Le straddle est une stratégie dont la finalité est étroitement liée à la volatilité.
Strategies Options CAC 40 - Static Hedge - Suivi 1
- Brokers Options -
Strategies Options CAC 40 - Static Hedge - Suivi 1
Un premier point qui commence bien.
Option Pricing - Black Scholes en Python
- Livres en Anglais -
Option Pricing - Black Scholes en Python
La programmation du modèle Black Scholes en Python est très facile
Le straddle : Delta ∆
- Stratégies Options Fondamentales -
Le straddle : Delta ∆
Le straddle est l'une des stratégies options les plus remarquables, par le fait d'être bidirectionnelle. Mais pas seulement. Elle possède des sensibilités qui lui sont caractéristiques.
Le put spread : une première approche
- Stratégies Options Fondamentales -
Le put spread : une première approche
Le put spread est une stratégie baissière qui combine l'achat et la vente de deux options de vente.