Black & Scholes : le gamma Г

Dans le modèle de Black & Scholes, le gamma Г représente la convexité du prix de l'option par rapport au sous-jacent.
Plus il est élevé en valeur absolue, plus la convexité est importante et le prix de l'option varie très rapidement en valeur.



I - Expression mathématique

Le gamma est donc la dérivée seconde du prix d'une option dans le modèle Black & Scholes.

Pour un call :

Γ = ∂² C / ∂ S²
Γ = ∂ Δ / ∂ S = ∂ (exp ( - q.τ ) . N( d₁ ) ) / ∂ S
Γ = exp ( - q.τ ) . ( 1 / ( S σ√τ ) ) . N’( d₁ )

Pour un put :

Γ = ∂² P / ∂ S²
Γ = ∂ Δ / ∂ S = ∂ (exp ( - q.τ ) . N( d₁ ) - exp ( - q.τ ) ) / ∂ S
Γ = exp ( - q.τ ) . ( 1 / ( S σ√τ ) ) . N’( d₁ )

Le gamma du call et celui du put sont identiques !




II - Significations

a - Gamma faible :


Pour un gamma Г faible, on remarque que le delta monte progressivement autour du strike, ce qui ce traduit par une hausse du prix du call progressive.

b - Gamma fort :


Pour un gamma Г fort, on remarque que le delta monte abruptement autour du strike, ce qui ce traduit par une hausse du prix du call soudaine autour du strike.




III - Représentation graphique

Graphiquement en 3D afin d'apprécier comment il varie au fur et à mesure que le temps passe, on a :



On saisit que :

■ le gamma Г (identique pour les calls et les puts de mêmes strikes, mêmes échéances ) est faible lorsque la maturité est importante, et son impact s'intensifie à mesure que le temps passe.

■ le gamma Г a un effet localisé autour du strike.
Même lorsque le temps restant est faible, une option "deep in the money" (profondément dans la monnaie) ou "deep out of the money" (franchement en dehors de la monnaie) a un gamma très faible voire quasi nul.


En termes de trading cela signifie qu'une option avec une échéance lointaine, call ou put, a peu d'accélération de prise de valeur, c'est à dire qu'elle garde une vitesse stable avec le sous-jacent. Son delta varie peu.
Cela est dû au fait que plus la maturité est loin, plus il y a de chance que le titre bouge d'ici là et qu'un sous-jacent a des chances identiques de se retrouver inchangé, d'avoir gagné 10% ou d'avoir perdu 10%.
A mesure que le temps passe, on a une idée plus précise d'où sera le sous-jacent à l'échéance, et où il ne sera pas. Il y a de moins en moins d'éventualités, si bien que le jour de l'échéance, une option est soit :

■ dans la monnaie , elle a une valeur positive et elle vaut la différence entre le sous-jacent et le strike (l'inverse pour un put)
■ en dehors de la monnaie et elle vaut 0 !

Autour de la monnaie, lorsque le sous-jacent est au niveau du prix d'exercice, le changement est brusque. Au dessus l'option vaut quelque chose, en dessous elle ne vaut rien. La prise de vitesse de la valeur de l'option est grande, cela se traduit par un grand gamma.



La suite : Black & Scholes : Le Theta
Précédent : Black & Scholes : Le Delta


Pdf connexes :
- Le modèle de Black–Scholes
- Black-Scholes Option Pricing Model



MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - INDEX
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE I
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE II
MODELE D'EVALUATION D'OPTIONS - CHAPITRE III

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