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Le gamma Г

Publié le 16 Novembre 2011 par Strategies Options
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Le gamma représente le taux de variation du delta, l'accélération de la prise/perte de valeur de l'option par rapport à une variation du sous-jacent

Le gamma représente effectivement le taux de variation du delta, et ainsi exprime l'accélération avec laquelle l'option gagne/perd de la valeur vis à vis d'un mouvement du sous-jacent.

Ce gamma est donc > 0 pour une option détenue/achetée, négatif pour une option vendue à découvert.


I - Expression mathématique

Si on a :
Δ le delta
Γ le gamma
S le sous-jacent
C le prix du call
P le prix du put

Γ = ∂Δ / ∂S

Donc pour le call
Γc = ∂²C / ∂S²
Pour le put
Γp = ∂²P / ∂S²


Mathématiquement, il trouve sa place dans la variation du prix d'une option V sur un laps de temps court (une journée) lorsque le sous-jacent bouge. Un développement de Taylor à l'ordre 2 donne ainsi:




Traduit en termes de trading, cela signifie que sur un petit lapse de temps :

Variation de l'option = Delta * ( variation du sous-jacent ) + 0.5 * Gamma * ( variation du sous-jacent ) * ( variation du sous-jacent )

Le prix d'une option bouge comme un portefeuille qui comprendrait "delta" sous-jacents, corrigé de la moitié du gamma x sous-jacent. Comme le gamma est positif pour une option achetée, chaque fois que le sous jacent monte, l'option gagne delta x variation du jous-jacent + 0.5 x gamma x (variation du sous-jacent)², ce qui est supérieur au delta, chaque fois que le sous jacent baisse, l'option perd delta x variation du jous-jacent - 0.5 x gamma x (variation du sous-jacent)², ce qui est inférieur au delta.


II - Représentation graphique

En 3 dimensions afin d'apprécier la manière dont il intervient avec le temps




III - Utilisation

On le voit, la connaissance du gamma d'une option permet d'apprécier la volatilité de l'option suite à un mouvement du sous-jacent.
Un portefeuille de 1000 options qui possèdent un delta unitaire de 0.52 ou 52% et un gamma unitaire de 0.023 (ou 2.3%) a un delta total de 1000*0.52 = 520 titres et un gamma total de 1000*0.023 = 23 titres.

Le portefeuille d'options se comporte comme un portefeuille que serait composé de 520 titres.
Mais,

→ Une hausse du sous-jacent impacte la valorisation du portefeuille d'option comme un ajout de 23 titres supplémentaires, le portefeuille d'options sera identique à un portefeuille composé de 520 + 23 = 543 titres,

→ inversement une baisse impacte le portefeuille comme si on avait enlevé 23 titres, le portefeuille d'options sera identique alors à un portefeuille composé de 520 - 23 = 497 titres.




IV - PnL Gamma - la part du P&L due au gamma

On attribut au gamma, la partie du PnL, Profits and Losses, qui correspond à :

P&LΓ = 0.5 . Γ . (dS)²


Γ correspond au gamma de la position
dS est la variation du sous-jacent


Livres Recommandés
Pricing et volatilité des options - Sheldon Natenberg
Options, futures et autres actifs dérivés 10e édition - John Hull


La suite : Vega υ : Une Première Approche
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