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Delta hedging

Publié le 26 Juillet 2015 par Strategies Options
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Le delta hedging est un type de couverture très courant dans le trading des options, en particulier pour les marketmakers.

Le delta hedging est un type de couverture très utilisé dans le milieu des options.

Se "hedger", se couvrir, est un terme général signifiant une réduction d'exposition par l'exploitation des relations qui peuvent exister entre un actif et d'autres investissements. Le but est de diminuer la variance du P&L par rapport aux variations du sous-jacent, c'est à dire diminuer la variabilité de la position aux aléas du marché.




I - Une stratégie naturellement delta hedgée : le straddle ATMF

On sait (cf Delta Hedging: Principes Fondamentaux ) que l'on peut répliquer une option en maintenant en permanence un portefeuille long de Δ titres. Regarder ce que donnerait comme stratégie une réplication dynamique sur le sous jacent est identique à l'évaluation de l'espérance de profit d'une option.

Le straddle ATMF ( At The Money Forward ) apparait comme une stratégie naturellement delta hedgée.




II - Espérance de gain pour le straddle ATMF

Or, d'après At The Money Forward Relationships 2 on sait que l'espérance de valeur d'une option ATMF est

E[Value] = [ 1 / ( √ ( 2 п ) ) ] . σ . √ (T-t) . S

C'est la valeur de l'option!

Avec
t la date d'évaluation
T la maturité des options
S le sous-jacent
п est le nombre pi ≈ 3.1415926

L'espérance de gain est donc :

E[Profit] = [ Valeur finale ] - [ Valeur achetée ]

E[Profit] = [( 1 / ( √ ( 2 п ) ) ) . (σ'). √ (T-t) . S] - [( 1 / ( √ ( 2 п ) ) ) (σ). √ (T-t) . S]

E[Profit] = [ 1 / ( √ ( 2 п ) ) ] . (σ' - σ). √ (T-t) . S

Avec,
σ est la volatilité implicite achetée
σ' est la volatilité qui s'est réalisée.


Dans le cas d'un straddle ATMF, c'est en fait le double puisque call ATMF et put ATMF ont même valeur. On a :

E[Profit Straddle] = 2 . ( 1 / ( √ ( 2 п ) ) ) . (σ' - σ) . √ (T-t) . S

E[Profit Straddle] = ( √ [ ( 2 / п ) . (T - t) ] ) . (σ' - σ) . S

Si σ' > σ on fait un gain, si σ' < σ on fait une perte. Logique.

On peut donc prendre cette formule d'évaluation de l'espérance des gains pour n'importe quelle stratégie delta hedgée, puisqu'il s'agit à chaque fois de la substitution d'une option par une stratégie dynamique sur le sous-jacent et vice versa (la réplication).




III - Variance des profits pour le straddle ATMF

La variance de l'espérance du gain correspond à la variabilité du risque. L'espérance donne un objectif, la variance donne la répartition possible du résultat final autour de cette objectif.

En ce qui concerne la variance de cette espérance, elle vaut :
Variance [Profit Straddle] = E[(Profit Straddle)²] - ( E[Profit Straddle] )²

Variance [Profit Straddle] = [ 1 - ( 2 / п )] . σ'² . S² . ( T - t )


Ce qui signifie que la variance du Profit du straddle ne dépend que de la volatilité réalisée.



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