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Le modèle trinomial : American style - version détaillée - On price !

Publié le 20 Juin 2016 par Strategies-options.com
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Les options de type américain sont très faciles à implémenter dans le modèle trinomial.

Nous avions vu précédemment cf Modèle Trinomial : Version Détaillée - On Price ! la manière d'évaluer une option de type européen avec le modèle trinomial.
En ajoutant la contrainte à chaque noeud Modèle Trinomial : - American Style - on va voir qu'il est extrêmement simple d'obtenir le prix des options de type américain.

Cette fois encore, nous le faisons pas à pas à l'aide d'un tableur type Excel ou OpenOffice.



I - VARIABLES ET PARAMÈTRES

Avant toute chose, pour calculer le prix d'une option avec le modèle trinomial, on a besoin de données. Elles sont au nombre de 7.
Les variables
Le prix actuel du sous-jacent S
La maturité de l'option en année T
Les paramètres
Le prix d'exercice ou strike K
La volatilité annualisée de l'actif sous jacent σ en % (pour la calculer :La Volatilité : On Price !)
Le taux d'intérêt sans risque r en % par an (il s'agit du taux monétaire ayant même maturité que l'option calculée)
Le taux de dividende annuel q en %
Le nombre de périodes n (plus le nombre est important, plus grande est la précision).



II - CALCULS PRÉLIMINAIRES

Ils seront au nombre de 7.
- durée d'une période en année(s) (en fait c'est la maturité en année(s) divisée par le nombre de périodes choisi n)
- coefficient de hausse u
- coefficient de hausse d = 1 / u
- coefficient de maintien m
- probabilité "risque neutre " de hausse du sous-jacent entre chaque période p
- probabilité "risque neutre " de maintien du sous-jacent entre chaque période m
- probabilité "risque neutre " de baisse du sous-jacent entre chaque période q
cf : Modèle Trinomial : Une Première Approche




III - RÉALISATION AVEC UN TABLEUR

Nous allons décomposer la réalisation d'un pricer 30 périodes pour évaluer un call de type européen (exerçable uniquement à l'échéance) de prix d'exercice ou strike à 100, pour un sous-jacent (une action par exemple) actuellement à 100 et ayant une volatilité σ de 30%, le call ayant une maturité d'1 an avec comme taux d'intérêt sans risque de 0.05 ou 5% et pour l'instant pas de dividende.


a - ouvrir une feuille vierge d'un tableur

Les colonnes A, B, C sont réservées aux données, calculs préliminaires

b - On remplit les cellules de la manière suivante:
- dans la cellule B2 on inscrit "sous jacent S", dans la cellule C2 on entre la valeur "100"
- dans la cellule B3 on inscrit "strike K", dans la cellule C3 on entre la valeur "100"
- dans la cellule B4 on inscrit "maturité en année T", dans la cellule C4 on entre la valeur "1"
- dans la cellule B5 on inscrit "nombre de périodes n", dans la cellule C5 on entre la valeur "30"
- dans la cellule B6 on inscrit "taux d'intérêt sans risque r", dans la cellule C6 on entre la valeur "0.05"
- dans la cellule B7 on inscrit "taux de dividende q", dans la cellule C7 on entre la valeur "0"
- dans la cellule B8 on inscrit "coût de portage Y=r-q", dans la cellule C8 on entre la formule "=C6-C7"
- dans la cellule B9 on inscrit "durée d'une période en année dt", dans la cellule C9 on entre la formule "=C4/C5"
- dans la cellule B10 on inscrit "volatilité σ", dans la cellule C10 on entre la valeur "30%"

Jusqu'à présent, on a rentré ce qui constituera les données originelles.
Maintenant on passe aux calculs préliminaires.
- dans la cellule B13 on inscrit "coefficient de hausse u", dans la cellule C13 on entre la formule "=EXP(C10*SQRT(2*C9))"
- dans la cellule B14 on inscrit "coefficient de baisse d", dans la cellule C14 on entre la formule "=EXP(-C10*SQRT(2*C9))"

Les "probabilités 'RISQUE NEUTRE'"

- dans la cellule B17 on inscrit "probabilité risque neutre de hausse p", dans la cellule C17 on entre la formule "=(((EXP(C8*C9/2))-(EXP(-C10*SQRT(C9/2))))/((EXP(C10*SQRT(C9/2))-(EXP(-C10*SQRT(C9/2))))))^2"
- dans la cellule B20 on inscrit "probabilité risque neutre de baisse q", dans la cellule C20 on entre la formule "=((-(EXP(C8*C9/2))+(EXP(C10*SQRT(C9/2))))/((EXP(C10*SQRT(C9/2))-(EXP(-C10*SQRT(C9/2))))))^2"
- dans la cellule B23 on inscrit "probabilité risque neutre de maintien m", dans la cellule C23 on entre la formule "=1-C20-C17"

On obtient :


Maintenant, les calculs
1 - Les spots finaux et les payoffs
- Dans la cellule E4, on entre la formule"=C2*C13^C5"
- Dans la cellule F4, on entre la formule"=MAX((E4-$C$2);0)"

Puis,
- Dans la cellule E5, on entre la formule"=E4*$C$14"
- Dans la cellule F5, on entre la formule"=MAX((E5-$C$2);0)"

- Dans la cellule E6, on entre la formule"=E5*$C$14"
- Dans la cellule F6, on entre la formule"=MAX((E6-$C$2);0)"

- Dans la cellule E7, on entre la formule"=E6*$C$14"
- Dans la cellule F7, on entre la formule"=MAX((E7-$C$2);0)"

...

- Dans la cellule E63, on entre la formule"=E62*$C$14"
- Dans la cellule F63, on entre la formule"=MAX((E62-$C$2);0)"

- Dans la cellule E64, on entre la formule"=E63*$C$14"
- Dans la cellule F64, on entre la formule"=MAX((E64-$C$2);0)"

On obtient cela :




2 - Calculs des options par période : c'est là qu'intervient la contrainte
Pour la période qui correspond à l'échéance - 1/30 d'année on obtient:
- Dans la cellule G5, on entre la formule"=MAX($F5;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*F4+$C$23*F5+$C$20*F6))"
- Dans la cellule G6, on entre la formule"=MAX($F6;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*F5+$C$23*F6+$C$20*F7))"
- Dans la cellule G7, on entre la formule"=MAX($F7;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*F6+$C$23*F7+$C$20*F8))"
...
- Dans la cellule G62, on entre la formule"=MAX($F62;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*F61+$C$23*F62+$C$20*F63))"
- Dans la cellule G63, on entre la formule"=MAX($F63;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F62+$C$20*F64))"

Pour la période qui correspond à l'échéance - 2/30 d'année on obtient:
- Dans la cellule H6, on entre la formule"=MAX($F6;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*G5+$C$23*G6+$C$20*G7))"
- Dans la cellule H7, on entre la formule"=MAX($F7;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*G6+$C$23*G7+$C$20*G8))"
...
- Dans la cellule H61, on entre la formule"=MAX($F61;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*G60+$C$23*G61+$C$20*G62))"
- Dans la cellule H62, on entre la formule"=MAX($F61;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*G61+$C$23*G62+$C$20*G63))"


...


Pour la période qui correspond à l'échéance - 29/30 d'année on obtient:
- Dans la cellule AI33, on entre la formule"=MAX($F33;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*AH32+$C$23*AH33+$C$20*AH34))"
- Dans la cellule AI34, on entre la formule"=MAX($F34;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*AH33+$C$23*AH34+$C$20*AH35))"
- Dans la cellule AI35, on entre la formule"=MAX($F35;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*AH34+$C$23*AH35+$C$20*AH36))"


Pour la période qui correspond à l'échéance - 30/30 d'année, c'est à dire le jour de l'évaluation on obtient:
Dans la cellule AJ34, on entre la formule"=MAX($F34;EXP(-$C$6*$C$9)*($C$17*AI33+$C$23*AI34+$C$20*AI35))", c'est la valeur de l'option.

Dans la cellule B29, on écrit "Valeur de l'option"
Dans la cellule C29, on entre la formule"=AJ34"

Finalement cela donne


On trouve une valeur du call égale à 14.1823 qui est identique à celle du call européen.
Pour info, le modèle Black & Scholes donne 14.2312 euros ( cf : Black & Scholes: On Price ! ).

3 - Cas du put
Pour évaluer le put correspondant, il suffit de changer la valeur du payoff.

- Dans la cellule E4, on entre la formule"=C2*C13^C5"
- Dans la cellule F4, on entre la formule"=MAX((-E4+$C$2);0)"

Puis,
- Dans la cellule E5, on entre la formule"=E4*$C$14"
- Dans la cellule F5, on entre la formule"=MAX((-E5+$C$2);0)"

- Dans la cellule E6, on entre la formule"=E5*$C$14"
- Dans la cellule F6, on entre la formule"=MAX((-E6+$C$2);0)"
...

- Dans la cellule E63, on entre la formule"=E62*$C$14^2"
- Dans la cellule F63, on entre la formule"=MAX((-E63+$C$2);0)"

- Dans la cellule E64, on entre la formule"=E63*$C$14^2"
- Dans la cellule F64, on entre la formule"=MAX((-E64+$C$2);0)"

On obtient cela :



D'où finalement,


On trouve une valeur du put égale à 9.8306 euros évidemment identique à celle trouvée sans les détails.
Pour info, le modèle Black & Scholes donne 9.3541 euros pour la version européenne ( cf : Black & Scholes: On Price ! ).

TRÈS SIMPLE ET TRÈS FACILE !

Dans la réalité, on programme le modèle trinomial ce qui permet d'obtenir la précision voulue en augmentant le nombre de période n.


Précédent : Modèle Trinomial : - American Style -

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