Le modèle binomial : american style options, On price !

On a vu (cf : Modèle Binomial : Version Détaillée - On Price!) qu'il était très simple de dresser l'arbre de tous les prix des options pour chaque période.

On a vu aussi (cf : Le Modèle Binomial : American Style Options) qu'une option de type américain respectait en permanence une contrainte de valeur. Il suffit de l'appliquer à l'arbre déjà construit pour "pricer" une option de type américain.



I - Variables et paramètres

Avant toute chose, pour calculer le prix d'une option avec le modèle binomial, on a besoin de données. Elles sont au nombre de 7.
Les variables
Le prix actuel du sous-jacent S
La maturité de l'option en année T
Les paramètres
Le prix d'exercice ou strike K
La volatilité annualisée de l'actif sous jacent σ en % (pour la calculer :La Volatilité : On Price !)
Le taux d'intérêts sans risque r en % par an (il s'agit du taux monétaire ayant même maturité que l'option calculée)
Le taux de dividende annuel q en %
Le nombre de périodes n (plus le nombre est important, plus grande est la précision).



II - Calculs Préliminaires

Ils seront au nombre de 5.
-durée d'une période en année(s) (en fait c'est la maturité en année(s) divisée par le nombre de périodes choisi n)
- coefficient de hausse u
- coefficient de hausse d = 1 / u
- probabilité "risque neutre " de hausse du sous-jacent entre chaque période p
- probabilité q complémentaire à p, avec q = 1 - p
cf : Modèle Binomial : Une Version Simple Pour Les Options Européennes



III - Réalisation avec un tableur

Nous allons décomposer la réalisation d'un pricer 30 périodes pour évaluer un call de type européen (exerçable uniquement à l'échéance) de prix d'exercice ou strike à 100, pour un sous-jacent (une action par exemple) actuellement à 100 et ayant une volatilité σ de 30%, le call ayant une maturité d'1 an avec comme taux d'intérêt sans risque de 0.05 ou 5% et pour l'instant pas de dividende.


a- ouvrir une feuille vierge d'un tableur
Les colonnes A, B, C sont réservées aux données, calculs préliminaires

b- On remplit les cellules de la manière suivante:
- dans la cellule B2 on inscrit "sous jacent S", dans la cellule C2 on entre la valeur "100"
- dans la cellule B3 on inscrit "strike K", dans la cellule C3 on entre la valeur "100"
- dans la cellule B4 on inscrit "maturité en année T", dans la cellule C4 on entre la valeur "1"
- dans la cellule B5 on inscrit "nombre de périodes n", dans la cellule C5 on entre la valeur "30"
- dans la cellule B6 on inscrit "taux d'intérêt sans risque r", dans la cellule C6 on entre la valeur "0.05"
- dans la cellule B7 on inscrit "taux de dividende q", dans la cellule C7 on entre la valeur "0"
- dans la cellule B8 on inscrit "coût de portage b=r-q", dans la cellule C8 on entre la formule "=C6-C7"
- dans la cellule B9 on inscrit "durée d'une période en année dt", dans la cellule C9 on entre la formule "=C4/C5"
- dans la cellule B10 on inscrit "volatilité σ", dans la cellule C10 on entre la valeur "30%"

Jusqu'à présent, on a rentré ce qui constituera les données originelles.
Maintenant on passe aux calculs préliminaires.
- dans la cellule B13 on inscrit "coefficient de hausse u", dans la cellule C13 on entre la formule "=EXP(C10*RACINE(C9))"
- dans la cellule B14 on inscrit "coefficient de baisse d", dans la cellule C14 on entre la formule "=1/C13"

Les "probabilités"
- dans la cellule B17 on inscrit "probabilité risque neutre de hausse p", dans la cellule C17 on entre la formule "=(EXP(C8*C9)-C14)/(C13-C14)"
- dans la cellule B20 on inscrit "1-p", dans la cellule C20 on entre la formule "=1-C17"
On obtient :


Maintenant, les calculs


A - Le call Américain
1 - Les spots finaux et les payoffs
- Dans la cellule E4, on entre la formule"=C2*C13^C5"
- Dans la cellule F4, on entre la formule"=MAX((E4-$C$2);0)"

Puis,
- Dans la cellule E5, on entre la formule"=E4*$C$14"
- Dans la cellule F5, on entre la formule"=MAX((E5-$C$2);0)"

- Dans la cellule E6, on entre la formule"=E5*$C$14"
- Dans la cellule F6, on entre la formule"=MAX((E6-$C$2);0)"

- Dans la cellule E7, on entre la formule"=E6*$C$14"
- Dans la cellule F7, on entre la formule"=MAX((E7-$C$2);0)"

...

- Dans la cellule E63, on entre la formule"=E62*$C$14"
- Dans la cellule F63, on entre la formule"=MAX((E63-$C$2);0)"

- Dans la cellule E64, on entre la formule"=E63*$C$14"
- Dans la cellule F64, on entre la formule"=MAX((E64-$C$2);0)"

On obtient cela :



2 - Calculs des options par période
Pour la période qui correspond à l'échéance - 1/30 d'année on obtient:
- Dans la cellule G5, on entre la formule"=MAX($F5;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F4+$C$20*F6))"
- Dans la cellule G7, on entre la formule"=MAX($F7;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F6+$C$20*F8))"
- Dans la cellule G9, on entre la formule"=MAX($F9;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F8+$C$20*F10))"
...
- Dans la cellule G61, on entre la formule"=MAX($F61;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F60+$C$20*F62))"
- Dans la cellule G63, on entre la formule"=MAX($F63;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F62+$C$20*F64))"

Pour la période qui correspond à l'échéance - 2/30 d'année on obtient:
- Dans la cellule H6, on entre la formule"=MAX($F6;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*G5+$C$20*G7))"
- Dans la cellule H8, on entre la formule"=MAX($F8;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*G7+$C$20*G9))"
...
- Dans la cellule H60, on entre la formule"=MAX($F60;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*G59+$C$20*G61))"
- Dans la cellule H62, on entre la formule"=MAX($F62;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*G61+$C$20*G63))"


...

Pour la période qui correspond à l'échéance - 29/30 d'année on obtient:
- Dans la cellule AI33, on entre la formule"=MAX($F33;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*AH32+$C$20*AH34))"
- Dans la cellule AI35, on entre la formule"=MAX($F35;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*AH34+$C$20*AH36))"

Pour la période qui correspond à l'échéance - 30/30 d'année, c'est à dire le jour de l'évaluation on obtient:
Dans la cellule AJ34, on entre la formule"=EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*AI33+$C$20*AI35)", c'est la valeur de l'option.

Dans la cellule B29, on écrit "Valeur de l'option"
Dans la cellule C29, on entre la formule"=AJ34"

Finalement cela donne


On trouve une valeur du call égale à 14.13 euros évidemment identique à celle trouvée pour ce même call mais de type européen. C'est parfaitement logique.
Pour info, le modèle Black & Scholes donne 14.23 euros ( cf : Black & Scholes: On Price ! ).


B - Le put Américain
1 - Les spots finaux et les payoffs
- Dans la cellule E4, on entre la formule"=C2*C13^C5"
- Dans la cellule F4, on entre la formule"=MAX((E4-$C$2);0)"

Puis,
- Dans la cellule E5, on entre la formule"=E4*$C$14"
- Dans la cellule F5, on entre la formule"=MAX((E5-$C$2);0)"

- Dans la cellule E6, on entre la formule"=E5*$C$14"
- Dans la cellule F6, on entre la formule"=MAX((E6-$C$2);0)"

- Dans la cellule E7, on entre la formule"=E6*$C$14"
- Dans la cellule F7, on entre la formule"=MAX((E7-$C$2);0)"

...

- Dans la cellule E63, on entre la formule"=E62*$C$14"
- Dans la cellule F63, on entre la formule"=MAX((E63-$C$2);0)"

- Dans la cellule E64, on entre la formule"=E63*$C$14"
- Dans la cellule F64, on entre la formule"=MAX((E64-$C$2);0)"

On obtient cela :



2 - Calculs des options par période
Pour la période qui correspond à l'échéance - 1/30 d'année on obtient:
- Dans la cellule G5, on entre la formule"=MAX($F5;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F4+$C$20*F6))"
- Dans la cellule G7, on entre la formule"=MAX($F7;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F6+$C$20*F8))"
- Dans la cellule G9, on entre la formule"=MAX($F9;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F8+$C$20*F10))"
...
- Dans la cellule G61, on entre la formule"=MAX($F61;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F60+$C$20*F62))"
- Dans la cellule G63, on entre la formule"=MAX($F63;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*F62+$C$20*F64))"

Pour la période qui correspond à l'échéance - 2/30 d'année on obtient:
- Dans la cellule H6, on entre la formule"=MAX($F6;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*G5+$C$20*G7))"
- Dans la cellule H8, on entre la formule"=MAX($F8;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*G7+$C$20*G9))"
...
- Dans la cellule H60, on entre la formule"=MAX($F60;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*G59+$C$20*G61))"
- Dans la cellule H62, on entre la formule"=MAX($F62;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*G61+$C$20*G63))"


...

Pour la période qui correspond à l'échéance - 29/30 d'année on obtient:
- Dans la cellule AI33, on entre la formule"=MAX($F33;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*AH32+$C$20*AH34))"
- Dans la cellule AI35, on entre la formule"=MAX($F35;EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*AH34+$C$20*AH36))"

Pour la période qui correspond à l'échéance - 30/30 d'année, c'est à dire le jour de l'évaluation on obtient:
Dans la cellule AJ34, on entre la formule"=EXP(-$C$9*$C$6)*($C$17*AI33+$C$20*AI35)", c'est la valeur de l'option.

Dans la cellule B29, on écrit "Valeur de l'option"
Dans la cellule C29, on entre la formule"=AJ34"

Finalement cela donne



On trouve une valeur du put égale à 9.82 euros évidemment différente à celle trouvée sans les détails pour le put de type européen.
Pour info, le même put mais de type européen vaut 9.26 dans le modèle binomial ( cf : Modèle Binomial : Version Détaillée - On Price! ) et le modèle Black & Scholes donne 9.35 euros ( cf : Black & Scholes: On Price ! ).


La suite : Le Modèle Binomial : Sous VBA ou Black & Scholes : Une Première Approche
Précédent : Le Modèle Binomial : American Style Options

Télécharger gratuitement le pricer : ici

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