Le modèle binomial : version détaillée

On avait vu (cf : Le Modèle Binomial : On Price ! ) qu'il était simple de calculer le prix d'une option de type européen à l'aide du modèle binomial. Ce modèle possède en effet un caractère très intuitif sur la manière dont se valorise une option.



I - Une relation fondamentale

La pierre angulaire du principe d'évaluation d'options avec le modèle binomial est de saisir que si on néglige les taux d'intérêt, connaissant la valeur de deux prix possibles finaux de l'option à l'échéance ainsi que les probabilités "corrigées du risque"d'atteindre finalement ces niveaux, on peut trouver la valeur de l'option pour une date antérieure.

Ce que l'on écrit :


Comme toujours en finance, le temps c'est de l'argent. Si l'on veut tenir compte des taux d'intérêt, il suffit d'actualiser le résultat pour obtenir la valeur présente (cf Actualisation : Un Principe Fondamental ).

Ainsi, à partir du moment où l'on fractionne la durée de vie de l’option T en « n » petite durées « ∆t » qui valent chacune ∆t = T ∕n et que:
u est le coefficient de hausse, et u=exp(σ√∆t)
d le coefficient de baisse tels que d= exp(-σ√∆t)
p est la probabilité « risque-neutre » de hausse du sous-jacent et p=((exp(b∆t)-d) / (u-d) (où exp(.) est la fonction exponentielle de base e)

Alors on a ,

C'est la relation fondamentale qui permet d'obtenir de proche en proche, en "remontant le temps", la valeur aujourd'hui d'une option, connaissant les valeurs finales possibles de l'option ainsi que leurs probabilités corrigées du risque d'apparaître.




II - Une formule globale

A partir de la relation fondamentale du dessus, on en déduit que la valeur d'un call( d'un put) aujourd'hui est la somme pondérée par la probabilité corrigée du risque



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