Gamma hedging : une première approche

I - Delta hedge et ses limites

On a vu que la couverture en delta neutre, le delta hedge, permet d’immuniser un portefeuille d’options pour de petites variations du spot. Delta Hedging: Principes Fondamentaux
En fait, le delta varie en fonction du spot en premier lieu, et une couverture vis à vis d’une petite variation reste partielle.




II - Définition du gamma d’une option

Le gamma d’une option correspond au taux de variation du delta.
Pour de petites variations du sous jacent, on représente souvent le gamma d’une option comme étant la dérivée du delta par rapport au spot, ou encore la dérivée seconde de la valeur d’une option par rapport au spot.
Par analogie, le delta représente la vitesse de variation du prix d’une option consécutive à une variation du spot, le gamma représente l’accélération de cette variation.Gamma Hedging : Une Première Approche



III - Application du Gamma

Un simple développement à l'ordre 2 du prix d’une option en séries de Taylor permet immédiatement de comprendre où intervient le gamma.
En effet, la variation du prix d’une option peut s’approximer ainsi :



et en déduire que:



Traduit en termes de trading cela donne:

Variation du prix de l’option = ∆ * (variation du spot) + (0.5) * (gamma) * (variation du spot)²

On saisit ainsi que le gamma « corrige » le fait que la valeur d’une option n’est pas linéaire avec celle du spot.


Exemple
Une option a un delta de 8300 euros et un gamma de 3800 euros pour un spot actuel de 50, la variation de la valeur de l’option en cas de baisse de l’action de 50 à 49 est d’environ :

Variation du prix de l’option = delta * ( variation du spot ) + ( 1/2 ) * ( gamma ) * ( variation du spot )²

Variation du prix de l’option = 8300 * ( 49 - 50 ) + ( 1/2 ) * 3800 * ( 49 - 50 )²
= -8300 + ( 1/2 ) * 3800 * ( 49 - 50 )²
= -8300 + 1900
= - 6400 euros

On aurait de même, si le titre montait de 50 à 51
Variation du prix de l’option = delta * ( variation du spot) + ( 1/2 ) * ( gamma ) * ( variation du spot )²
Variation du prix de l’option = 8300 * ( 51 - 50 ) + ( 1/2 ) * 3800 * ( 51 - 50 )²
= 8300 + ( 1/2 ) * 3800 * ( 49 - 50 )²
= 8300 + 1900
= + 10200 euros

On voit ainsi que l’option varie en cas de hausse de +10200 euros et en cas de baisse -6400 euros, ce qui traduit le caractère asymétrique d’une option. Dans le cas de ce call, on gagne plus en cas de hausse que l’on ne perd en cas de baisse. C'est une information bien plus riche que celle du delta seul Delta Hedging: Principes Fondamentaux


A retenir:
seconde approximation: pendant un temps assez court (une journée afin d'éliminer l'effet du temps sur la prime) on a :





Variation du prix de l’option = ∆ * ( variation du spot ) + ( 1/2 ) * ( Г ) * ( variation du spot )²

Le fait que le delta soit variable implique que certaines gestions aient besoin de se protéger contre de fortes variations.


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