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At The Money Forward Relationships 1

Publié le 20 Septembre 2010 par Webmaster
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"A la monnaie forward" ATMF, c'est à dire lorsque le prix d'exercice est au niveau du contrat forward/future, quelques relations particulièrement intéressantes apparaissent pour les options.

Lorsque le strike est au niveau du forward/future, l'option est à la monnaie "forward" et les relations entre delta et primes permettent d'appréhender intuitivement les options, de calculer parfois leurs valeurs de tête.



I - A la monnaie forward

Par définition, une option de type européen est exerçable à l'échéance et uniquement à l'échéance. D'après la relation de call-put parité( cf Call-put Parité : Une Relation Typiquement Européenne ), on sait que les options européennes sont en fait évaluées non pas sur le sous jacent lui même, mais sur le contrat future/forward. Cet élément est d'ailleurs bien présent dans les modèles d'évaluation type Black & Scholes.

Si on note F le niveau du future, r et q respectivement les taux d'intérêt et taux de revenu/dividende continûment composés et T la maturité exprimée en année(s), le Strike KATMF qui se situe ATMF est défini par :

KATMF = F
F = S . exp(r-q).T)

KATMF = S . exp(r-q).T)


Pourquoi ATMF

En partant du principe que l'option est ATMF on évince l'effet des taux d'intérêt sur le sous jacent par rapport au strike. Cela permet par la suite de raisonner comme si l'effet des taux d'intérêt étaient nuls (le portage ou carry cost est nul). Les relations trouvées seront alors toujours vraies pour n'importe quel taux d'intérêt dès lors que le strike de l'option en sera ajusté.



Exemple

Si on prend un sous jacent à 100 et que l'on fait varier les taux d'intérêt à 0 d'abord puis 5% puis 10%, pour peu que le strike soit choisi égale au niveau du contrat future/forward sur le sous jacent, les primes d'options, calls et puts, restent identiques




Un premier élément remarquable, est que les valeurs des calls et celles des puts sont semblables, ainsi que les deltas, gammas et vegas.


Un second élément remarquable, c'est que la variation du taux d'intérêt sur les options ATMF, n'implique des variations que sur le thêta.



II - Relation delta/premium

Une relation importante entre delta et premium peut être considérée lorsque l'option est ATMF.
A ce niveau là, comme r=0, on a:


Donc,


On vérifie avec l'exemple précédent:


Il est donc extrêmement facile de connaitre la valeur d'un call ATMF connaissant uniquement son delta.
Inversement, si on recherche un delta ATMF particulier sans connaitre ni l'échéance de l'option, ni la volatilité du sous jacent, on le trouve facilement connaissant la valeur de ce call.

Exemples d'utilisation :

→ Un delta 0.6 ATMF pour un spot à 100, signifie un call de 2*100*(0.6 - 0.5) = 200*0.1 = 20
→ Un delta 0.55 ATMF pour un spot à 100, signifie un call de 2*100*(0.55 - 0.5) = 200*0.05 = 10

Un moyen simple de calculer n'importe quelle prime !

La suite bientôt dans "At The Money Forward Relationships 2"

A retenir:

ATMF ("à la monnaie forward"), on a:


Et comme C > 0 et S > 0, même avec des taux nuls, en l'absence de dividende le delta d'un call ATMF sera toujours > à 50%



La suite : At The Money Forward Relationships 2
Précédent : Call-put Parité : Une Relation Typiquement Européenne

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