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Représentation du mouvement d'un actif financier

Publié le 05 Octobre 2011 par Strategies Options
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Représenter les variations d'un actif (une action, un indice...) permet non seulement de pouvoir les simuler mais aussi d'en déduire le prix d'instruments dérivés de cet actif.

Simuler les cours d'un actif sur un tableur type Excel/OpenOffice permet d'avoir une représentation plus intuitive de la valorisation d'un portefeuille. C'est aussi une méthode pour évaluer les instruments dérivés. On peut encore trouver d'autres utilisations comme le verra plus loin.



I - Le but

Que l'on souhaite acheter ou vendre un actif financier, il est toujours intéressant afin de l'étudier préalablement, de tenter de le représenter graphiquement par exemple, afin de visualiser les niveaux probables et moins probables futurs de cet actif.



II - Comment faire ?

C'est assez simple, n'importe quel ordinateur peut faire cela pour nous mais cela nécessite quelques hypothèses préalables.

On part du principe par exemple que les rendements journaliers r(t) de cet actif suivent une loi normale (cf : Wikipédia : loi normale) de moyenne µ et d'écart type sigma (il y a évidemment d'autres possibilités !)

Ce que l'on écrit


On en déduit, que l'on peut écrire:


Donc en partant de

On obtient


Et voilà, c'est tout ce dont nous avons besoin ! On peut exprimer le cours du jour en fonction de la veille.

Le calcul de µ:
Pour calculer µ, la tendance ou encore la moyenne des rendements quotidiens de notre exemple, il suffit de prendre les n cours successifs passés (on prendre les n derniers cours de clôture) et d'appliquer:


Le calcul de la volatilité σ cf La Volatilité : On Price !

Le calcul de φ : φ est une variable aléatoire de moyenne 0 et d'écart type 1, et qui sera simulée directement par l'ordinateur. Pour cela nous alons par exemple utiliser la fonction "LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA())"
Cette fonction calcule un nombre au hasard, issue d'une distribution normale de moyenne 0 et d'écart type 1.

On a donc tout pour réaliser une simulation sur un tableur type Excel ou OpenOffice maintenant.



III - Réalisation

Admettons que nous ayons l'historique suivant des cours de clôture de l'actif étudié
jour t-15: 100
jour t-14: 102
jour t-13: 98
jour t-12: 99
jour t-11: 104
jour t-10: 102
jour t-9: 103
jour t-8: 100
jour t-7: 98
jour t-6: 101
jour t-5: 97
jour t-4: 95
jour t-3: 96
jour t-2: 94
jour t-1: 95

On ouvre une feuille vierge d'un tableur et on note:

- dans la cellule C5, inscrire "=100"
- dans la cellule C6, inscrire "=102"
- dans la cellule C7, inscrire "=98"
.....
- dans la cellule C18, inscrire "=94"
- dans la cellule C19, inscrire "=95"


Pour calculer µ, il suffit de calculer la moyenne des rendements en utilisant la fonction Ln(.), le logarithme néperien.

Dans la cellule E4, inscrire "Ln(P(t)/P(t-1)"
Puis,
- dans la cellule E6, calculer "=ln(C6/C5)"
- dans la cellule E7, calculer "=ln(C7/C6)"
- dans la cellule E8, calculer "=ln(C8/C7)"
.....
- dans la cellule E18, calculer "=ln(C18/C17)"
- dans la cellule E19, calculer "=ln(C19/C18)"

- dans la cellule D21, inscrire "µ="
- dans la cellule E21, calculer "=MOYENNE(E6:E19)"


Dans la cellule G4, inscrire "(Ln(P(t)/P(t-1))²"
Puis,
- dans la cellule G6, calculer "=E6*E6"
- dans la cellule G7, calculer "=E7*E7"
- dans la cellule G8, calculer "=E8*E8"
.....
- dans la cellule G18, calculer "=E18*E18"
- dans la cellule G19, calculer "=E19*E19"

- dans la cellule F21, inscrire "Variance Quotidienne="
- dans la cellule G21, calculer "=MOYENNE(G6:G19)"
- dans la cellule F22, inscrire "Variance annualisée="
- dans la cellule G22, calculer "=365*G21"
- dans la cellule F23, inscrire "Volatilité annualisée="
- dans la cellule G23, calculer "=RACINE(G22)"

On obtient


Nous avons donc la "tendance" des rendements quotidiens passés, et et leur écart type (volatilité). On peut donc appliquer maintenant notre formule


On va faire une simulation sur 1 an
On a donc
dt=1/365
Le spot de départ est le dernier spot réalisé : 95
- dans la cellule B28, inscrire "0"
- dans la cellule C28, inscrire "95"

- dans la cellule B29, inscrire "1"
- dans la cellule C29, inscrire "=C28*(1+$E$21*(1/365)+$G$23*RACINE(1/365)*LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()))"

- dans la cellule B30, inscrire "2"
- dans la cellule C30, inscrire "=C29*(1+$E$21*(1/365)+$G$23*RACINE(1/365)*LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()))"

- dans la cellule B31, inscrire "3"
- dans la cellule C31, inscrire "=C30*(1+$E$21*(1/365)+$G$23*RACINE(1/365)*LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()))"

On obtient

....

- dans la cellule B392, inscrire "364"
- dans la cellule C392, inscrire "=C391*(1+$E$21*(1/365)+$G$23*RACINE(1/365)*LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()))"

- dans la cellule B393, inscrire "365"
- dans la cellule C393, inscrire "=C392*(1+$E$21*(1/365)+$G$23*RACINE(1/365)*LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()))"

On obtient


On obtient une simulation de cet actif pour 365 dates, avec la même volatilité que celle qui fut calculée avec les 15 derniers cours de clôture du départ, et la même "tendance" qu'eux.


Appuyer sur la touche "F9" pour avoir une autre simulation.

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