Simulation Monte Carlo : une première approche

Plusieurs manières d'évaluer une option doivent conduire à des résultats semblables pour des paramètres et des variables donnés.

Si on cherche un résultat rapide, les "formes fermées", les modèles binomiaux et trinomiaux, par extension les méthodes de différences finies sont souvent les plus efficaces.
Si on cherche par contre une évaluation globale d'un portefeuille d'options de différents types (américaine-européenne/vanilla-exotique), ou encore l'évaluation d'options dont le payoff dépend de la performance de plusieurs sous-jacents (option sur panier par exemple), il peut être plus intéressant de l'effectuer via une simulation type "Monte Carlo".
Pour une définition plus "mathématique",
cf proba.jussieu.fr/pageperso/millet/montecarlo.pdf


Monte Carlo en finance : exemple simplifié d'évaluation d'options de type européen.




I - La théorie:

La simple relation de call put parité Call-put Parité : Une Relation Typiquement Européenne met en évidence que les options s'évaluent dans un cadre "neutre au risque", c'est à dire que l'élément de tendance du sous jacent est le taux d'intérêt sans risque (le taux de portage en fait). Dans les modèles de Black&Scholes ou binomiaux par exemple, on part d'un portefeuille delta hedgé c'est à dire neutre au risque de variation du sous jacent. On va garder ce principe ici.

Par définition, la valeur d'une option est le montant actualisé de l'espérance mathématique "neutre au risque" ou "risque-neutre" de son payoff.
Pour avoir l'élément "risque neutre, il suffit de simuler un actif donc la tendance serait le taux de portage μ,

μ = r - q

Avec,
r le taux d'intérêt sans risque correspondant à la maturité de l'option
q les revenus issus de la détention de cet actif pendant la période, les dividendes par exemple, les coupons si l'actif est une obligation...




II - Le but:

Le but des simulations Monte Carlo dans l'évaluation d'options est

→ de simuler des trajectoires aléatoires de prix en fonction de différents paramètres (volatilité du sous jacent, taux d'intérêt, dividende, prix d'exercice) et variables (niveau de spot au départ, maturité de l'option) en partant du principe que la tendance du sous jacent est le taux de portage (taux sans risque - revenu)

→ d'en déduire des niveaux de spot possibles à l'échéance.

→ puis d'en calculer l'espérance, c'est à dire "à chaque fois que le spot final est dans la monnaie, calculer le payoff (le résultat financier final de l'option) et en faire la moyenne par rapport à la totalité des simulations

→ Enfin d'actualiser le tout à la date de départ, puisque le payoff ne sera disponible qu'à l'échéance.




III - Le principe en action:

On avait vu cf Représentation Du Mouvement D'un Actif Financier comment simuler les variations du prix d'un actif. En suivant scrupuleusement le protocole au dessus, il ne reste donc plus qu'à multiplier le nombre de simulation.

Si l'on souhaite évaluer un call échéance 1 an strike 100 pour un spot qui vaut 100 actuellement et une volatilité de l'actif sous jacent de 30% un taux d'intérêt composé continu sans risque à 1 an de 5%, pas de dividende, il suffit de :

- donner à µ la valeur 5% ou 0.05
- donner à la volatilité annualisée σ la valeur 30% ou 0.30

En reprenant le même schéma que pour la fiche Représentation Du Mouvement D'un Actif Financier et en remplaçant * et sigma par 5% et 30% on a:
- dans la cellule E21, inscrire "=5%"
- dans la cellule G23, inscrire "=30%"
dt=1/365

Le spot de départ est le dernier spot réalisé : 100 (c'est un call à partir d'un spot qui vaut 100)
- dans la cellule B28, inscrire "0"
- dans la cellule C28, inscrire "100"
- dans la cellule B29, inscrire "1"
- dans la cellule C29, inscrire "=C28*(1+$E$21*(1/365)+$G$23*RACINE(1/365)*LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()))"
- dans la cellule B30, inscrire "2"
- dans la cellule C30, inscrire "=C29*(1+$E$21*(1/365)+$G$23*RACINE(1/365)*LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()))"
- dans la cellule B31, inscrire "3"
- dans la cellule C31, inscrire "=C30*(1+$E$21*(1/365)+$G$23*RACINE(1/365)*LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()))"

....

- dans la cellule B392, inscrire "364"
- dans la cellule C392, inscrire "=C391*(1+$E$21*(1/365)+$G$23*RACINE(1/365)*LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()))"
- dans la cellule B393, inscrire "365"
- dans la cellule C393, inscrire "=C392*(1+$E$21*(1/365)+$G$23*RACINE(1/365)*LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()))"


On calcule maintenant le payoff par rapport au strike 100 de cette simulation:
- dans la cellule C395, inscrire "=MAX($C$393-100;0)

On obtient par exemple


Il suffit maintenant de multiplier les simulations, pour cela on fait un "copier-coller" de la simulation et du payoff autant de fois que l'on veut, jusqu'à la colonne HZ pour notre exemple.

On obtient


Il ne reste plus qu'à faire la moyenne des payoff et de l'actualiser.

- dans la cellule C399, inscrire "=MOYENNE(C395:HZ395)"
- dans la cellule B400, inscrire "Valeur du call 100"
- dans la cellule C400, inscrire "=EXP(-E21)*C399"

Finalement,


On trouve dans l'exemple ci dessus une valeur du call 100 1 an pour un spot à 100 une volatilité σ de 30% et un taux d'intérêt sans risque r de 5 %, une approximation de 13.78205 pour la simulation que nous avons faite, la "juste" valeur théorique est 14.23.
Dans la pratique il faut beaucoup de simulations pour avoir une précision acceptable, mais cet inconvénient est vite écarté lorsque l'on constate les avantages de la technique pour l'évaluation d'un portefeuille d'options par exemple.

Pour une autre simulation, il suffit d'appuyer sur F9.


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