logo strategies-options Accès Site
 
panier
"Gérer, c'est prévoir"
Le site consacré aux stratégies de trading incorporant des produits dérivés, en particulier des options.
Accueil  >  Modèles d'évaluation d'options  >  Black & Scholes : le modèle, présentation et solution ( Part 1 ) 

Black & Scholes : le modèle, présentation et solution ( Part 1 )

Publié le 10 Juillet 2011 par Calendarspread
icone rss


Le modèle de Black & Scholes est sans doute le modèle d'évaluation d'options le plus connu. Il est important de comprendre comment on peut le démontrer.

Le modèle de Black & Scholes est sans doute le modèle d'évaluation d'options le plus connu et peut être même le modèle mathématique le plus connu tout court.

Ce modèle est en fait une adaptation du modèle de Louis Bachelier (1900), et qui diffère seulement de quelques détails.

La démonstration suivante n'est pas celle de Black & Scholes, mais elle fournit simplement la manière d'appréhender le modèle. Elle est largement inspirée de P.W.



I - Une équation de base

On sait d'après Equivalences Entre Les Grecs que si l'on part du principe qu'un actif S suit un mouvement brownien géométrique, on a :

Si r <> 0

V(S,t) = Δ . S + (1/r) . (0.5 . Γ . S² . σ² + Θ)

où,
V est la valeur de l'option
Δ le delta de l'option
r le taux d'intérêt composé continument
Γ le gamma de l'option
σ la volatilité annualisée
Θ le thêta annualisé de l'option
T la maturité de l'option en année
t la date d'évaluation en année

On l'écrit parfois

rV(S,t) - rΔ . S - 0.5 . Γ . S² . σ² - Θ = 0


ps : si r = 0

(0.5 . Γ . S² . σ² + Θ) = 0



II - La résolution

La démonstration repose sur plusieurs changements de variables.

On obtient :








Tant que l'on ne s'éloigne pas trop des hypothèses de Black Scholes, le modèle permet d'évaluer quantité d'instruments financiers. D'où son succès.


La suite : Black & Scholes : Le Modèle, Présentation Et Solution ( Part 2 )
Précédent : Black & Scholes : Une Première Approche

Calendarspread
D'autres Fiches
Strategie Option cac40 - Suivi 4
- Les Stratégies Options sur Actions et Indices -
Strategie Option cac40 - Suivi 4
Le risque limité permet de tenir la position
La vente d'option de vente - vente de put
- Stratégies Options Fondamentales -
La vente d'option de vente - vente de put
La vente d'un put est une stratégie très répandue dans les gestions dans le but d'accroitre la rentabilité des fonds gérés.
CAC 40 : risk-reversal delta-hedge suivi 10
- Les Stratégies Options sur Actions et Indices -
CAC 40 : risk-reversal delta-hedge suivi 10
P&L + 1860 euros
CAC 40 : risk-reversal delta-hedge suivi 2
- Les Stratégies Options sur Actions et Indices -
CAC 40 : risk-reversal delta-hedge suivi 2
Le CAC 40 est resté finalement stable cette semaine, mais les décalages de l'indice restent "pricés" dans la volatilité implicite des options
Les turbos warrants : une première approche
- Warrants, Turbos, Options Binaires -
Les turbos warrants : une première approche
Les turbos ont connu un rapide succès auprès des professionnels d’abord puis récemment vis à vis des particuliers, parce qu'ils semblent plus simples à comprendre que les options classiques, et qu'ils coûtent moins cher.
Le vega υ
- ABC des Options -
Le vega υ
Le véga υ d'une option correspond à la sensibilité du prix de l'option à une variation de la volatilité implicite.