Black & Scholes : le modèle, présentation et solution ( Part 1 )

Le modèle de Black & Scholes est sans doute le modèle d'évaluation d'options le plus connu et peut être même le modèle mathématique le plus connu tout court.

Ce modèle est en fait une adaptation du modèle de Louis Bachelier (1900), et qui diffère seulement de quelques détails.

La démonstration suivante n'est pas celle de Black & Scholes, mais elle fournit simplement la manière d'appréhender le modèle. Elle est largement inspirée de P.W.



I - Une équation de base

On sait d'après Equivalences Entre Les Grecs que si l'on part du principe qu'un actif S suit un mouvement brownien géométrique, on a :

Si r <> 0

V(S,t) = Δ . S + (1/r) . (0.5 . Γ . S² . σ² + Θ)

où,
V est la valeur de l'option
Δ le delta de l'option
r le taux d'intérêt composé continument
Γ le gamma de l'option
σ la volatilité annualisée
Θ le thêta annualisé de l'option
T la maturité de l'option en année
t la date d'évaluation en année

On l'écrit parfois

rV(S,t) - rΔ . S - 0.5 . Γ . S² . σ² - Θ = 0

ps : si r = 0

(0.5 . Γ . S² . σ² + Θ) = 0



II - La résolution

La démonstration repose sur plusieurs changements de variables.

On obtient :








Tant que l'on ne s'éloigne pas trop des hypothèses de Black Scholes, le modèle permet d'évaluer quantité d'instruments financiers. D'où son succès.


La suite : Black & Scholes : Le Modèle, Présentation Et Solution ( Part 2 )
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