logo strategies-options Accès Site
 
panier
"Gérer, c'est prévoir"
Le site consacré aux stratégies de trading incorporant des produits dérivés, en particulier des options.
Accueil  >  Modèles d'évaluation d'options  >  Black & Scholes : le modèle, présentation et solution ( Part 1 ) 

Black & Scholes : le modèle, présentation et solution ( Part 1 )

Publié le 10 Juillet 2011 par Calendarspread
icone rss


Le modèle de Black & Scholes est sans doute le modèle d'évaluation d'options le plus connu. Il est important de comprendre comment on peut le démontrer.

Le modèle de Black & Scholes est sans doute le modèle d'évaluation d'options le plus connu et peut être même le modèle mathématique le plus connu tout court.

Ce modèle est en fait une adaptation du modèle de Louis Bachelier (1900), et qui diffère seulement de quelques détails.

La démonstration suivante n'est pas celle de Black & Scholes, mais elle fournit simplement la manière d'appréhender le modèle. Elle est largement inspirée de P.W.



I - Une équation de base

On sait d'après Equivalences Entre Les Grecs que si l'on part du principe qu'un actif S suit un mouvement brownien géométrique, on a :

Si r <> 0

V(S,t) = Δ . S + (1/r) . (0.5 . Γ . S² . σ² + Θ)

où,
V est la valeur de l'option
Δ le delta de l'option
r le taux d'intérêt composé continument
Γ le gamma de l'option
σ la volatilité annualisée
Θ le thêta annualisé de l'option
T la maturité de l'option en année
t la date d'évaluation en année

On l'écrit parfois

rV(S,t) - rΔ . S - 0.5 . Γ . S² . σ² - Θ = 0


ps : si r = 0

(0.5 . Γ . S² . σ² + Θ) = 0



II - La résolution

La démonstration repose sur plusieurs changements de variables.

On obtient :








Tant que l'on ne s'éloigne pas trop des hypothèses de Black Scholes, le modèle permet d'évaluer quantité d'instruments financiers. D'où son succès.


La suite : Black & Scholes : Le Modèle, Présentation Et Solution ( Part 2 )
Précédent : Black & Scholes : Une Première Approche

Calendarspread
D'autres Fiches
La vente d'option d'achat - vente de call
- Stratégies Options Fondamentales -
La vente d'option d'achat - vente de call
La vente de call(s) est une stratégie extrêmement utilisée par les gestionnaires de portefeuilles et de fonds.
Black & Scholes : une première approche
- Modèles d'évaluation d'options -
Black & Scholes : une première approche
Le modèle de Black & Scholes (1973), parfois appelé Black Scholes Merton (BSM), est un modèle standard d’évaluation des options de type européen
Le straddle : Le Vega υ
- Stratégies Options Fondamentales -
Le straddle : Le Vega υ
Le straddle est une stratégie dont la finalité est étroitement liée à la volatilité.
CAC 40 : risk-reversal delta-hedge suivi 1
- Les Stratégies Options sur Actions et Indices -
CAC 40 : risk-reversal delta-hedge suivi 1
Le CAC 40 a bougé cette semaine, preuve que la volatilité historique ne demande qu'à se montrer.
Les Stability Warrants pour les Nuls
- Warrants, Turbos, Options Binaires -
Les Stability Warrants pour les Nuls
Débuter avec les stability warrants
Le calendar spread : le delta ∆
- Stratégies Options Avancées -
Le calendar spread : le delta ∆
Si le gain atteint son maximum au niveau du prix d'exercice, cela doit donc se traduire dans son delta ∆.